Sechzehnter Satz. Lehrsatz.

Fig. 192. 4LDI) sei ein beliebiges Viereck, entwe-der ganz in einer Ebene, oder nicht. Schneidet mandie gegenüberliegenden Seiren, mittels zweier gera-den Linien Iii? und tili, in gleichem Verhaltnisse, so,daß 4K - KL DK -KD, und LD - DD-^- 411- KD- so be-haupte ich, daß sich Iii' und Dil in irgend einemPuncte kl dergestalt schneiden werden, daß KKI-KlD

— 4 k - KL und Iikl - K1K ----- 411 - II D.

Man lege durch 41) irgend eine Ebene 4bkcv, welche abernicht durch Dil geht; aus den Puncten Ii, L, D, k ziehe man,mit Dil parallel, die Linien Ks, L1>, De, KI, welche jene Ebenein e, d, s, 1 schneiden. Wegen der Parallelen LI->, Dil, Do ist1,11 - Da—LD-DD —4k-KD (3s B. IZr S.); also sind dieDreiecke 4kd und Dks ahnlick) (3s B. 20r S.). Ferner ist4s-sd----4K-KL und DI-Is—DK-KD; also ist 4s:o1> —DI-Is,

oder, rompouenclo, 4s-l)I------4l> - Ks. Aber, wegen der ahnlichen

Dreiecke 4kl> und Dkl:, ist 4L-Ks—4K-KD; also ist 4s-1)1

— 4K-HI). Nun sind aber, wegen der ahnlichen Dreiecke 4kbund ckl), die Winkel II4s und lilll gleich; folglich sind dieDreiecke 4ks und Dkl ahnlich (3s B. 2vr S.), mithin ist derWinkel 4ka —Dkl. Daraus folgt, daß slll eine gerade Linie ist,und daß also die drei Parallelen Ks, DK und II in einer und dernämlichen Ebene liegen, welche Ebene KI' und DK enthält. Alsomüssen sich kk und DK in irgend einem Puncte klschneiden. Darauf erhält man, wegen der Parallelen Ks, K1Kund KI, die Proportion: kkl-klk —ell-KI—4K-KD.

Auf dieselbe Art läßt sich, in Beziehung auf die Seite 4L,beweisen, daß KK1-K1D —4K-KL*).

Siebzehnter Satz. Lehrsatz.

Fig. 193. Der Winkel zwischen zwei EbenenZI4M und N4K kann, nach der obigen Erklärung,durch den Winkel I>4? zwischen zwei, in den beidenEbenen liegenden und auf ihren Durchschnitt 4Nsenkrecht gezogenen, Linien 4N und 4L, gemessenwerden.

*) Dieser merkwürdige Satz erläutert die Vorstellung von de» sogenann-ten windschiefen Fläche», wenn sie von Vierecken begrenzt sind, welche nichtin einerlei Ebene liegen. A u m. d. U e b e r s.

G eomctric.