V. B. Von d. Ebene u. d. körperl. Winkeln. S. 3.4. 141

Do die Grundlinie LE in () halbirt wird, so ist in demDreiecke ZZE (gemäß 3s B. I4r S.)

eben so, in dem Dreiecke Z4.1l,

4L' -s- 4L' ^ 2 4Y° -si 2 (4E4Man ziehe die e rst e Gleichung von der zweiten ab, und erwäge,dciß in den Dreiecken 4?(l und 41>v, weil sie beide in recht-winklig sind, 4<?—?17^4?-, nnd 4L' —ist; soerhält man

41" 4?' 2 4(4- — 2 ?()'-.

Also, wenn man beiderseits die Hälfte nimmt,

A?^4E —1'(^;folglich ist das Dreieck 4?() in ? rechtwinklig (3s B. 13r S.),und mithin 4? auf?(4 senkrecht*).

Anmerkung. Man sieht hieraus, nicht allein, wie esmöglich ist, daß eine gerade Linie auf allen Geraden in einerEbene, die durch ihren Fuß gehen, senkrecht sei; sondern auch,daß solches immer der Fall ist, wenn die Linie blos auf zweiLinien, die in der Ebene durch ihren Fuß gehen, senkrecht steht.Dieses rechtfertigt die Erklärung I.

' I. Zusatz. Das Perpendikel 4P ist kürzer, als jede schrägeLinie 4Y; folglich ist das Perpendikel das wahre Maß der Ent-fernung eines Puncts 4 von der Ebene ?y.

II. Zusatz. In einem gegebenen Puncte, einer Ebene ?,kann man auf dieselbe nur ein Perpendikel ziehen; denn, gesetzt,es könnten zwei Perpendikel gezogen werden: so lege man eineEbene durch beide. Der Durchschnitt dieser Ebene mit derEbene 4M sei Z(4, so würden die beiden Perpendikel, in einemund demselben Puncte, und in einer und derselben Ebene, aufZy senkrecht sein; welches unmöglich ist.

Eben so ist es unmöglich, aus einem, außerhalb der Ebenegegebenen, Puncte, zwei Perpendikel auf die Ebene zu ziehen;denn, wären 4? und 4Y zwei Perpendikel, so würde das

*) Der schöne Beweis, welchen Euclid für diesen Satz giebt(4tcr Satz im Ilten Buche der Elemente), scheint einfacher undelementarer, als der obige, weil er nur aus die Lehre von derGleichheit der Dreiecke gegründet ist. Anm. d. Uebers.