136

Geo Metrie.

cirt man die Vorderglicdcr mit 00, und die Hintcrglieder mit 00,so kommt: 0L><00:>1LxL0 —01:00. ähnlichen

Dreiecke OOL und OLO geben 0L:00 —OL:LO, woraus folgt:OLxOO—OLxlO. Eben so würde man erhalten: L.LXLO— OLxLO; folglich OLXLO:OL X10 —01:011, odei OL:OL —01:011. Kann man nun zeigen, daß der Bogen Li größerist, als der Bogen 011; so folgt daraus, daß die Äpotheme OLgrößer ist, als OL.

Man mache, auf der andern Seite von 0?, die Figur OLixder Figur OOx gleich, so, daß OH —00, der Winkel IIOLi —1100 und der Bogen Lix—Ox; so wird die gebrochene Linie lxxOden Bogen KIIO umschließen, und folglich langer sein, als dieserBogen (9r S.). Folglich ist die Halste der gebrochenen Linie Oxgrößer, als die Halste 011 des Bozens L.RO; folglich ist, um somehr, Ol größer, als 011.

Daraus folgt, daß die Apothemc OL größer ist, als OL. Danun die beiden Vielecke gleiche Umfange haben sollen, so verhaltensich ihre Flachen, wie die Apothemcn (7tr Satz).

Also ist dasjenige, welches OL zur halben Seite hat, größer,als das andere, mit der halben Seite ^L. Das erste aber hatmehr Seiten, weil sein Winkel am Mittelpunkte kleiner ist; also istvon den beiden Vielecken, von gleichem Umfange, dasjenige, welchesdie meisten Seiten hat, das größere.

Zehnter Satz. Lehrsatz,

Der Kreis ist die größcste von allen Figuren,welche einerlei Umfang haben.

Fig. 18V. Oben ist bewiesen, daß unter allen Vielecken, vongleichem Umfange und gleicher Seitenzahl, das regelmäßige das grö-ßcste ist. Also ist nur noch nöthig, den Kreis mit einem regelmä-ßigen Vielecke von demselben Umfange zu vergleichen. ^1 sei diehalbe Seite des Vielecks, 0 sein Mittelpunct. In dem Kreise vongleichem Umfange sei der Winkel OOL —>101, und folglich der Bo-gen OL gleich der halben Seite ^1. Das Vieleck 0 verhalt sichzum Kreise 0, wie das Dreieck >101 zum Ausschnitte OOL; also ist0:0—r >11x01 OLX OL —Ol:OL. Nun werde im PuncteL die Tangente LO gezogen, welche die verlängerte 00 in O schnei-det; so geben die ähnlichen Dreiecke >101 und OOL die ProportionOl: OL —.11, oder OL: OL; also verhalt sich 0 zu 0, wie OL zuOL, oder, wie OLX^OL, welches das Maß des AusschnittsOOL ist, zu OLX^OL, welches das Maß des Dreiecks OOList. Nun ist der Ausschnitt kleiner, als das Dreieck; also ist 0