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Geometrie.

Anmerkung. Man kann die Aufeinanderfolge der SeitenAL, LL, (LI eto., nach Belieben verwechseln, ohne daß sich derDurchmesser des umschriebenen Kreises und der Inhalt des Vielecksänderten; denn: in welcher Ordnung auch die Bogen AL, L(l eto.aufeinander folgen mögen: immer werden sie zusammen dem halbenUmfange gleich, und der Inhalt des Vielecks wird der nämlichesein, weil er dem Inhalte des Halbkreises, weniger den AbschnittenAL, LL eta. gleich ist, deren Summe immer die nämliche bleibt.

Sechster Satz. Lehrsatz.

Von allen Vielecken, mit gegebenen Seiten, istdas größte dasjenige, dessen Ecken in einem Kreisum-fange liegen.

Fig. 177- ALLLLLS sei das eingeschriebene, und uLaclelgein nicht im Kreise liegendes Vieleck. Beide sollen die nämlichenSeite» haben, so daß AL^-aL, L(l—La ete. Ich behaupte, daßdas eingeschriebene Vieleck größer ist, als das andere.

Man ziehe den Durchmesser LU, desgleichen die Linien AUund UL. Auf ad — AL mache man das Dreieck adru dem DreieckeALU gleich, und ziehe ein.

Vermöge des vierten Satzes ist das Vieleck LLSAU größer,als etz-nn, so lange das letztere nicht in einen Halbkreis beschriebenwerden kann, dessen Durchmesser ein ist, welches aber, nach demfünften Satze, nicht angeht, ohne daß die beiden Vielecke einandergleich waren. Aus demselben Grunde ist das Vieleck LLLL.U grö-ßer, als eäedin, unter der nämlichen Voraussetzung, daß sie nichtgleich sind. Also ist das ganze Vieleck LL(7AUL(L)L größer, alseiZsmLacls, insofern beide nicht etwa gleich sind. Da sie diesnun nicht sein sollen, weil das eine in den Kreis sollte eingeschriebenwerden können, das andere aber nicht; so ist das eingeschriebeneVieleck das größere. Nimmt man von beiden die gleichen DreieckeALU und sLm hinweg, so bleibt das eingeschriebene VieleckALLLLLO, und das nicht eingeschriebene aLcäslZ übrig, wovonalso das erste das größere ist.

Anmerkung. Wie beim fünften Satze läßt sich beweisen,daß nur ein einziger Kreis, und folglich nur ein einziges größtesVieleck, möglich ist, welches die Bedingung erfüllt. Dieses größteVieleck behält immer denselben Inhalt, wie man auch die Aufein-anderfolge seiner Seiten verändern mag.

Siebenter Satz. Lehrsatz.

Das regelmäßige Vieleck ist das größte unterallen Vielecken von gleichem Umfange und gleicherSeitenzahl.