Anhang zum 4. Buche. Satz. 2 —Z.

Winkelscheitel alle in einem Halbkreise liegen, vonwelchem die willkürliche Seite der Durchmesser ist.

Fig. 176. Ali?!)?? sei unter den Vielecken, welche von dengegebenen Seiten AU, UL, LI), »?, ?? und einer willkürlichenSeite A? umschlossen sind, das größte. Man ziehe die DiagonalenAI) und >>?. Ware der Winkel AD? kein rechter, so könnte man,indem man die Theile ALDI) und I)?? beibehielte, wie sie sind,das Dreieck AI)?, und folglich das ganze Vieleck, dadurch vergrö-ßern, daß man den Winkel AD? einem rechten gleich machte, zuFolge des vorigen Satzes. Das Vieleck soll aber nicht mehr vergrö-ßert werden können, weil es, der Voraussetzung nach, schon dasgrößte ist. Also ist schon der Winkel AD? ein rechter. Eben so verhaltes sich mit allen Winkeln AU?, AL?, Abi?; folglich liegen dieScheitel aller dieser Winkel A, .Ii, ?, D, ?, ?, des größten Viel-ecks, in einem Halbkreise, dessen Durchmesser die unbestimmte SeiteA? ist.

Anmerkung. Dieser Satz giebt Anlaß zu einer Frage: näm-lich, ob mit gegebenen Seiten und einer willkürlichen Seite, die derDurchmesser des Kreises ist, in dessen Umfange die Winkelschciteldes Vielecks liegen, dieses Vieleck auf mehr als eine Art beschriebenwerden könne.

Fig. 176. Man bemerke zunächst, daß, wenn die nämlicheSehne AU Bogen von verschiedenen Halbmessern AD und Ab) be-grenzt, der Winkel am Mittelpunkte, in dem Kreise von kleineremHalbmesser, der größere ist; so, daß ADL-<ADU; denn der WinkelADV ist gleich ADD-j-DAI) (1s B. 27r S.); also ist ADD-<AI)D, und, wenn man aus beiden Seiten das Zweifache nimmt,AM < AHL.

Fünfter Satz. Lehrsatz.

Mit gegebener. Seiten, und einer willkürlichen,kann, auf die Weise, daß die letztere der Durchmessereines Halbkreises ist, in dessen Umfang die übrigensich schneiden, ein Vieleck AUDI)?? nur auf eine ein-zige Art beschrieben werden.

Fig. 17S. Denn, man setze, der Kreis, welcher der Aufgabegenug thut, sei gefunden. Nimmt man nun einen größcrn Kreisan, so werden die Sehnen AL, UD, (II) vw., zu kleinem Win-keln am Mittelpunkte gehören. Die Summe dieser Winkel amMittelpunkte wird also kleiner sein, als zwei rechte; also werden dieEnden der gegebenen Sehnen nicht mehr in den Endpunkten einesDurchmessers liegen. Das Nämliche würde auf entgegengesetzteWeise Statt finden, wenn man einen kleinern Kreis annähme;also kann das Vieleck nur in einen einzigen Kreis eingeschriebenwerden.