Geometrie. Anhang zum 4. Buche. Satz. i. I3i

Man beschreibe aus S, mit dem Halbmesser S4 —SL, einenKreis, welcher die verlängerte L4 in 1) schneidet, und ziehe DL;so ist der in den Halbkreis beschriebene Winkel I1L4 ein rechter(2s B. IZr S.). Man verlängere das Perpendikel DL nach Zizu, mache ZliV— NL, und ziehe 4Z(. Endlich falle man, aus ZIund L, die Linien ZI? und SS auf Dbi senkrecht. Da nunSö-^SD und Nsi^ZIL ist, so ist 4S-f-LL^4l) und 441-f-UL^-4Zl-s -ZM. Es ist aber 4S-f-LL — 4Zl-f-NL; also ist4D —4Z1 -f -Z1Zi; folglich ist 4Ds >4Z(. Da nun die schrägeLinie 4.1) langer ist, als die 4F; so muß sie weiter von dem Per-pendikel 4L entfernt sein; folglich ist DLs>LiV, und folglich LS,welches die Hälfte von LI) ist (1s B. 12r S.), größer, als L?,welches die Hälfte von M ist. Die Dreiecke 4LS und 4LZI,welche gleiche Grundlinien haben, verhalten sich aber, wie ihreHöhen LS und L?; also ist das gleichschenklige Dreieck 4LS, weilLS ^>L? war, größer, als das nicht gleichschenklige 4LZl, vonder nämlichen Grundlinie und demselben Umfange H.

H Meines Erachtcns ist dieser Beweis nicht ganz vollständig, und esmuß noch gezeigt werden, daß 4!VM (Fig. 172) keine gerade Linie ist, sobald4ÜI und uhl ungleich sind.

Vollständig kann der Satz, wie ich glaube, folgendcrgcstalt bewiesen wer-den. ES sei 4S — SL—SS, so ist 4LS (Fig. 7. d. Anm.) ein rechter Win-kel, weil daS Dreieck 4LS im Halbkreise liegt. Run sei 4L-j-I)L^4SchLS, und zwar seiD4L<iS4L; so ist nothwendig DL4>SL4; denn,wä'rcvL4<SL4, z. B.--^SL4, so wäre 4S4-LL< 4S-s-SL (1s B.Sr S.); wäre VL4—SL4—IVIL4, so wäre ebenfalls 4l>lss-L!>I<4S-f-LS. Beides ist der Voraussetzung zuwider; also ist nothwendig VL4>SK4. Dieserhalb ist um so mehr VL4>O4L; denn es ist V4L<S4L<SL4. Nun sei OS — DD, so ist VSL -^VLS. Es ist aber VLS -s- 0L4einem rechten Winkel gleich: also ist 1X7l! st- 1)4l! kleiner, als ein rechterWinkel, weil VSK —VLS und V4L< VL4 war. In deni Vierecke 4VSLsind also die drei Winkel bei 4, S und L zusammen kleiner, als zwei rechte;folglich ist der Winkel bei 0, nach innen zu, größer, und folglich der Winkel4VS, nach außen, kleiner, als zwei rechte; mithin ist 4VS keine geradeLinie, und folglich ist 4S<4v-f-0S, oder, weil VS—VL, 4S<4vss-VL, oder 4S<4Sss-SL, oder 4S<4S. Deshalb ist, wie bei Lc-gcndre, SL<SL, und, davS—I^SL und SI —,fSL, so ist VK<Sl;folglich ist das Dreieck 4VL von geringerem Inhalte, als das gleichschenklige4SI!, von gleichen; Umfange.

Algebraisch läßt sich der Satz sehr kurz beweisen, und zwar vermittelstdes Ausdrucks des Inhalts eines Dreiecks durch die drei Seiten. Wenn näm-lich die Seite 4L durch u, die Seite Lv durch l>, und die Seite 41) durch cbezeichnet wird; so ist der Inhalt des Dreiecks 4VL

^ (n4-b —«) (a —d^-c) (bss-r—u)f

Die Summe der Seiten d-s-r werde durch p, ihr Unterschied c — b durch gbezeichnet; so ist der Inhalt des Dreiecks

G—<l) (sH-l) (p —s)f oder