128

G c o m c t r i c.

Man setze LD und LL gleich der inittlern Proportionale zwi-schen L^ und LZ, und ziehe LI); so ist das gleichschenklige DreieckLDL dein Dreiecke L/III gleich (l6r S.). Man verfahre auf ebendie Weise mit allen acht Dreiecken im Quadrate; so entsteht einregelmäßiges Achteck, welches so groß ist, als das Quadrat IMAL,Der mit dem Halbmesser LL, der Mittlern Proportionale zwischen

L.4 und beschriebene Kreis aber ist in das Achteck einge-

schrieben, und der Kreis vom Halbmesser L.!> um dasselbe beschrie-ben. Also ist der erste kleiner, der zweite größer, als das Quadrat.

Verwandelt man, auf dieselbe Weise, das rechtwinklige DreieckLDL in ein gleich großes, gleichschenkliges Dreieck; so entsteht einregelmäßiges Vieleck von 16 Seiten, welches dem Quadrate an In-halt gleich ist. Der in dieses Vieleck eingeschriebene Kreis ist kleiner,der umschriebene größer, als das Quadrat.

So kann man fortfahren, bis der um - und der eingeschriebeneKreis so wenig von einander abweichen, als man will. Alsdannkönnen beide dem Quadrate gleich gesetzt werden.

Anmerkung. Die Berechnung der auf einander folgendenHalbmesser ist folgende. Es sei u der Halbmesser des, in eines dergefundenen Vielecke eingeschriebenen, Kreises; 6 der Halbmesser desKreises um das nämliche Vieleck; und IL sollen die Halbmesserfür das folgende Vieleck, mit der doppelten Seitenzahl, sein. DemQbigcn zufolge ist IL die mittlere Proportionale zwischen n und b,

und -L die mittlere Proportionale zwischen a und " ^ ^ , so, daß

IL — /(aXb) und

2

a-j-Iz

/a-I-

Sind also die Halb-

messer a und I> bekannt, so sindct man die Halbmesser -L und IL desfolgenden Vielecks, und man kann damit fortfahren, bis der Unter-schied der beiden Halbmesser unmerklich ist; alsdann ist der eine,wie der andere Halbmesser, derjenige eines Kreises, welcher so großist, als das gegebene Quadrat, oder Vieleck.

Dieses Verfahren ist zwar auch in Linien leicht auszuführen,weil man nur, der Reihe nach, die mittleren Proportionalen zwischenbekannten Linien suchen darf; aber noch leichter in Zahlen. DasVerfahren ist unter denen, welche die Elementar-Geometrie darbie-tet, eins der bequemsten, um schnell das Verhältnis des Umfanges zumDurchmesser naherungswcise zu finden. Die Seite des Quadratssei 2; so ist der erste eingeschriebene Halbmesser LA—1; der ersteumschriebene Halbmesser LH —/2, oder 1,4142136. Macht manalso a—1 und d—1,4142136, so findet man IL—1,1892071und cL-^-1,0386841. Diese Zahlen dienen, die folgenden, nachdemselben Gesetze, zu berechnen.