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Gevmetri e.

Werth Andere Rechner, welche die Zahl n nach bis auf mehrDeeimalstellen suchten, fanden für dieselbe 3,1416926636337932 n.Man hat die Geduld gehabt, die Rechnung bis zur Einhundertund sieben und zwanzigsten Dccimalstelle fortzusetzen, ja selbstbis zur Einhundert und vierzigsten. Offenbar ist eine solcheAnnäherung so gut, als die Wahrheit selbst; denn auch z. B.die Wurzeln der Irrationalzahlen kennt man nicht genauer.

In den beiden folgenden Aufgaben wollen wir zwei der einfach-sten elementaren Methoden, jene Annäherung zu siudcn, vortragen.

Dreizehnter Satz. Aufgabe.

Wenn der Inhalt eines regelmäßigen einge-schriebenen, und eines ähnlichen, umschriebenenVielecks gegeben ist: den Inhalt der ein- und um-geschriebenen Nielecke von der doppelten Seiten-zahl zu finden.

Fig. 169. AN sei die Seite des eingeschriebenen Vielecks;die mit All parallele Linie LI' sei die Seite der ahnlichen, um-schriebenen Figur, (1 der Mittelpunct dcS Kreises. Man ziehedie Sehne AN, und die Tangenten AI' und H(); so ist dieSehne AN die Seite des eingeschriebenen Vielecks, und I'lZ —2LN ist die Seite des umschriebenen Vielecks von der doppeltenSeitenzahl (6r S.). Nun ist die Construction für die verschie-denen gleichen Winkel ALN immer die nämliche; folglich kannman bei dem Winkel ALN allein stehen bleiben: die darin ent-haltenen Dreiecke haben eben die Verhältnisse, wie die ganzenVielecke. Der Inhalt des eingeschriebenen Vielecks, dessenSeite AH ist, sei A, der Inhalt des ähnlichen, umschriebenenVielecks II; der Inhalt des Vielecks, dessen Seite AN ist, sei AI, derInhalt des ähnlichen, umschriebenen Vielecks II'. A und II sindbekannt, AI und II' sollen gefunden werden.

Erstlich. Die Dreiecke ALI) und ALN, mit dem ge-meinschaftlichen Scheitel A, verhalten sich, wie ihre GrundlinienLO und (IN. Sie verhalten sich aber auch, wie die VieleckeA und A', von welchen sie Theile sind; also ist A:A' —LD:LN.Die Dreiecke LAN und LNL, mit dem gemeinschaftlichen Schei-tel N, verhalten sich, wie ihre Grundlinien LA und LL. Abersie verhalten sich auch,' w.ie die Vielecke A' und II, von welchen