IV.B. V. d. regclm. Vieleck, u. d. Ausm. d. Kreis. S. 11. 12. 121.
Man bezeichne z. B. durch Krsl. EH den Inhalt desKreises, dessen Halbmesser EH ist, so behaupte ich, daßKrsl. EH-^EH X Ums. EH.
Fig. 167. Denn, wäre ^EH X Ums. E-1 nicht der Inhalt,des Kreises, dessen Halbmesser EH ist: so würde diese Großedas Maß eines größern oder kleinern Kreises sein. Angenom-men, eines größern, so, daß, wenn es möglich ist, -^-EH xUms. EH^Krfl. EL.
Man beschreibe um den Kreis, dessen Halbmesser (71 ist,das regelmäßige Vieleck OLLE—, dessen Seiten den Kreis,vom Halbmesser EL, nicht erreichen (1Ur S.); so wird der In-halt dieses Vielecks gleich sein seinem Umfange Ob" st-LL st-LE ,
muliplicirt mit 1-1E (7r S.). Der Umfang deS Vielecks aberist langer, als der eingeschriebene Krcisumfang, weil er densel-ben von allen Seiten umgiebt; folglich ist die Flache des Viel-ecks OLLO—, größer, als ^HE x Umf. HE, welches, nachder Voraussetzung, das Maß der Kreisflache vom HalbmesserEL ist. Das Vieleck würde also größer sein, als dieser Kreis.Es ist aber im Gegentheil kleiner, weil es darin enthalten ist;also ist es unmöglich, daß 1-EHx Umf. EH größer sei, alsKrsl. EH, oder, mit andern Worten: es ist unmöglich, daß derUmfang eines Kreises, multiplicirt mit der Halste seines Halb-messers, eine größere Kreisflache gebe.
Ich behaupte zweitens, daß das nämliche Prvduct auchkeine kleinere Kreisflache geben kann. Um die Figur nicht znverändern, setze ich, daß jetzt von demjenigen Kreise die Redesei, dessen Halbmesser EL ist; so muß bewiesen werden, daß^ELxUmf. EL nicht der Inhalt eines kleinem Kreises, z. B.nicht der Inhalt des Kreises vom Halbmesser EH sein könne.Es sei also, wenn es möglich ist, ^EL X Ums. EL ----Krsl. EH.
Verfahrt man wie oben, so muß der Inhalt des VielecksOLLO...., (OL -st EL st- LE Mc.) X z EH zum Maße haben:
der Umfang OL st-EL st-Ed ist aber kleiner, als der
Kreisumfang EL, welchen er von allen Seiten umgiebt. Alsoist der Inhalt des Vielecks kleiner, als ^ EH. X L m f. EL; mit-hin, um so mehr, kleiner, als ^EL X Ums. EL. Das letzteist, nach der Voraussetzung, das Maß des Kreises, dessen Halb-messer EH ist; also würde das Vieleck kleiner sein, als der ein-