120

Gco Metrie.

wie Umfang OL zu einem Umfange, der kleiner ist, als Um f.0^.; oder es würde sich der eine Halbmesser zum andern verhal-ten, wie der mit dem ersten beschriebene Umfang, zu einem klei-nem, als dem mit dem zweiten Halbmesser beschriebenen Um-fange; welches bewiesenermaßen unmöglich ist.

Da nun also das vierte Glied der Proportion OL : OL —Umf. OL: X, weder größer noch kleiner sein kann, als Um f.OL; so muß es gleich Umf. OL sein; folglich verhalten sichdie Umfange der Kreise, wie ihre Halbmesser.

Achnliche Betrachtungen und ein gleiches Verfahren gebenden Beweis, daß sich die Kreisflächen wie die Quadrate derHalbmesser verhalten.

Fig. 166. Zusatz. Die ähnlichen Bogen LL und OL ver-halten sich, wie ihre Halbmesser L.0 und 00; und die ähnli-chen Ausschnitte L.OL, OOL, wie die Quadrate der nämlichenHalbmesser.

Denn, da die Bogen ähnlich sind, so ist der Winkel 0dem Winkel O gleich (3s B. 3te Erkl.). Der Winkel 0 aberverhält sich zu vier rechten, wie der Bogen LL zum ganzenUmfange, dessen Halbmesser L.0 ist (2s B. 17r S.). DerWinkel O verhält sich zu vier rechten, wie der Bogen OL zumganzen, mit dem Halbmesser 00 beschriebenen, Umfange. Alsoverhalten sich die Bogen LL und OL, wie die Umfänge, vonwelchen sie Thcile sind; diese Umfänge aber verhalten sich, wiedie Halbmesser L.0 und 00; also ist:

Bog. LL : Bog. OL---LO: 00.Aus demselben Grunde verhalten sich die Ausschnitte L.OL undOOL, wie die ganzen Kreise; diese aber wie die Quadrate derHalbmesser; also ist:

Aussch. L.OV : Aussch. OOL ----^0': 00°.

Zwölfter Satz. Lehrsatz.

Der Inhalt eines Kreises ist gleich dem Pro-dukte seines Umsanges in die Hälfte seines Halb-messers.*).

*) Oder genauer: Der Inhalt eines Kreises ist gleich der Hälftedes Products vom Umfange m den Halbmesser. Anm. d. Ucbe r s.