IV. B. V. d. regeln:. Vieleck, u. d. Aus»:. d. Kreis. S. 1V. 11. IIS

gen Vielecks, wenn der zu einer seiner Seiten gehörige Bogeneinen aufgehenden Theil des Kreisumfanges ausmacht.

Eilfter Satz. Lchrsa tz.

Kreisumfange verhalten sich, wie ihre Halb-messer; Kreisflächen aber, wie die Quadrate derHalb m esscr.

Fig. 165. Wenn man, der Kürze wegen, z. B. denKrc isumfang, welcher DL zum Halbmesser hat, durch Ums. DLbezeichnet, so behaupte ich, daß

Ums. DL: Ums. OD -----DL: OD.

Denn, wäre es nicht so, so würde sich DL zu 011 verhalten,wie Um f. DL zu irgend einem vierten Gliede, welches größeroder kleiner ist, als Ums. OD. Man setze: kleiner, nämlich,wenn es möglich: DL: OD — Ums. DL : Ums. OD.

Man beschreibe iir den Krcisumfang, dessen Halbmesser ODist, ein regelmäßiges Vieleck DDOIvDD, dessen Seiten den Um-fang vom Halbmesser OD nicht erreichen (Ivr S-); ein ähnli-ches Vieleck LllXDSVZI beschreibe man in den Umfang, dessenHalbmesser DL. ist.

Da nun diese Vielecke ähnlich sind, so verhalten sich ihreIlmsänge LMD8N und wie die Halbmesser DL und

OD der umschriebenen Kreise sLr S.), so, daß— DL: OD. Aber, nach der Voraussetzung war DL: OD —Ums. 0L : Ums. OD; also wäre ZMDSZs: DDD.IVD --- Um f.DL : Ums. : OD. Diese Proportion ist unmöglich, weil derUmfang kleiner ist, als Ums. DL (9r S.), hingegen

UDDIDD größer, als Ums. OD. Also ist es unmöglich, daßsich DL zu OD verhält, wie der Ums. DL zu einem Um-fange, der kleiner ist, als der Ums. OD, oder allgemeiner: esist unmöglich, daß sich ein Krcishalbmesser zum andern verhalte,wie der mit dem ersten beschriebene Umfang, zu einem kleinernUmfange, als dein mit dem zweiten Halbmesser beschriebenen.

Daraus folgt, daß sich auch nicht verhalten könne: DL zuOD, wie Ums. DL zu einem größern Umfange, als Ums. OD;denn, wäre es möglich, so würde sich, wenn man das Vcrhält-niß umkehrt, OD zu DL verhalten, wie ein Umfang, der grü-ßer ist, als Ums. OD, zu Ums. DL; oder, was dasselbe ist,