IV. B. V. d. rcgelm. Vielecken u. d. Ausm. d. Kreis. S. 9.10. 117

Gesetzt nun, die Linie ANU wäre nicht kürzer, als alle,welche sie umgeben: so muß es unter den letztern nothwcndigeine geben, die kürzer ist, als die übrigen, und zugleich kürzer,als AiVlU, oder höchstens AIUL gleich. AUDUl, sei diese kür-zeste, umschließende Linie; alsdann ziehe man zwischen den bei-den Linien, an einer beliebigen Stelle, eine gerade Linie I'y,welche ViVIL nicht trifft, oder sie höchstens nur berührt; so istdie gerade kürzer, als 1'IUIUt): setzt man also 1'0 an dieStelle von I'Ullllt), so hat man eine umgebende AUYU,welche kürzer ist, als AUVYL. Nach der Voraussetzung aber,ist diese schon die kürzeste von allen; also ist die Voraussetzungnicht möglich; mithin sind alle umschließenden Linien langer,als AIW*).

Fig. 163. Anmerkung. Eben so laßt sich beweisen,daß eine convexc, in sich selbst gebogene Linie ANU kürzer ist,als jede andere, von welcher sie an allen Seiten umschlossenwird, die umgebende Linie mag AÄIö in einem, oder inmehreren Puncten berühren, oder sie umgeben, ohne sie zuberühren.

Zehnter Satz. Lehnsatz.

Wenn zwei concentrische Kreise gegeben sind,so kann man allezeit in den Umfang des größernein regelmäßiges Vieleck beschreiben, dessen Sei-ten den Umfang des kleinern nicht erreichen; des-gleichen um den Umfang des kleinern ein regelmä-ßiges Vieleck, dessen Veiten den Umfang des grü-ßern nicht erreichen, so, daß in beiden Fällen dieSeiten des Vielecks ganz zwischen beiden Kreisum-fängen liegen.

Dieser neunte Satz ist auch für die Lehre von den krum-men Linien wichtig. Er kommt z. B. bei einer begründetenAusmessung der Lange krummer Linien zur Anwendung. Mansehe deshalb ineine kleine Abhandlung über die Anwendung derRechnung mit veränderlichen Größen auf Geometrie und Mechanik,Berlin, bei Maurer 1816. S. 61 w. Legcndre's scharfsinnigerBeweis des Satzes ist sehr merkwürdig. Anm. d. Ucbers.