Geometrie.

Halbmesser der eingeschriebenen Kreise; die Fla-chen der Vielecke aber, wie die Quadrate dieserHalbmess er.

Fig. 161. KL sei eine Seite eines solchen Vielecks, Osein Mittelpunct, und folglich OK der Halbmesser des umschrie-benen Kreises; das Perpendikel OL auf KV ist der Halbmesserdes eingeschriebenen Kreises; und ab soll die Seite eines andernähnlichen Vielecks, « sein Mittelpunct, «a und all sollen dieHalbmesser des umschriebenen und des eingeschriebenen Kreisessein. Die Umfange der beiden Vielecke verhalten sich, wie dieSeiten KL und ab; aber der Winkel K und a sind gleich, weiljeder die Halste von dem Winkel des Vielecks ist. Eben so dieWinkel L und b; folglich sind die Dreiecke KLO und ab» ahn-lich; desgleichen die Dreiecke KLO, ->6». Also ist KL.-ab —KO:an —L0:ll»; folglich verhalten sich die Umfange der Viel-ecke, wie die Halbmesser KO und au der umschriebenen Kreise;desgleichen, wie die Halbmesser DO und clu der eingeschriebe-nen Kreise.

Die Inhalte der Vielecke verhalten sich, wie die Quadrateder ähnlich liegenden Seiten KL und ab; folglich auch, wie dieQuadrate der Halbmesser der umschriebenen Kreise K0 und a»,desgleichen, wie die Quadrate der Halbmesser der eingeschriebe-nen Kreise Ol) und ull.

Neunter Satz. Lehrsatz.

Jede krumme oder gebrochene Linie, welche,von einem Ende bis zum andern, eine ausgebogcne(convexe) Linie KNL umschließt, ist langer, als dieumschlossene Linie KKIL.

Fig. 162. Wir verstehen unter ausgebogcne Linie einesolche krumme oder gebrochene, oder thcils krumme, theils ge-brochene Linie, welche von einer geraden in nicht mehr als zweiPuncten geschnitten werden kann. Hatte die Linie KZIL einge-bogene Stellen, so wäre sie nicht mehr convcx, weil sie dann,wie man leicht sieht, von einer geraden in mehr als zweiPuncten geschnitten werden könnte. Kreisbogen sind vollständigconvex; aber der Satz erstreckt sich aus jede beliebige Linie,welche die Bedingung erfüllt.