III. Buch. Vom Verhältnisse der Figuren. Satz 32. 33. l)5

seines Umfangs in die Hälfte vom Halbmesser des eingeschriebe-nen Kreises.

Drei und dreißigster Satz. Lehrsatz.

Fig. 136. In jedem Vierecke im Kreise, ALLV,ist das Rechteck unter den Diagonalen ^L und LOgleich der Summe der Rechtecke unter den entgegen-gesetzten Seiten; nämlich:

^LxLv^liLx Lv-s-AvxvL.

Man mache den Bogen LO —^IV, und ziehe LO, welchedie Diagonal.IL in I schneidet.

Der Winkel ^ILO ist gleich LLI, weil der eine die Hälftedes Bogcns IO, der andere die Hälfte des ihm gleichen Bv-gens LO zun: Maße hat. Der Winkel AOL ist gleich LLI,weil sie in dem nämlichen Kreisabschnitte AOL liegen; folglichsind die Dreiecke AOL und ILL ähnlich, und es findet die Pro-portion AO:LI—LO:LL Statt, woraus folgt: AOxLL —LIXLO. Nun behaupte ich, daß das Dreieck ALI dem Drei-ecke LOL ahnlich ist; denn der Bogen AO ist gleich dem BogenLO; thut man zu beiden OO hinzu, so folgt, daß der BogenAO —OL ist. Mithin ist der Winkel ALI—OLL. Ferner istder Winkel LAI—LDL, weil sie in einerlei Kreisabschnitt lie-gen: folglich sind die Dreiecke ALI und OLL ähnlich, und dieähnlich liegenden Seiten geben die Proportion AL:LO—AI:LV; woraus folgt: ALxLO—AIxLO. Addirt man diesebeiden Resultate und erwägt, daß AI X LOLI X LO—(AI-j-LI)xLO —ALxLO ist; so erhält man:

AO X LL -si.IL X LO ^ /IL X LO.

Anmerkung. Auf eine ahnliche Art läßt sich noch einandrer Satz vom Vierecke im Kreise beweisen.

Das Dreieck ALV, welches dem Dreiecke LIL ahnlich ist,giebt nämlich die Proportion LV : LL—AL : LI, woraus folgt:LIxLO—LLxAL. Zieht man LO, so ist das dem Drei-ecke ALI ähnliche Dreieck ILO auch dem Dreiecke LOL ahnlich,und giebt die Proportion LO : LO—OL.-01, woraus folgt:OIxLO^LOxOL, oder, weil LO^AO ist, OI'XLO^AOxOL. Addirt man die beiden Resultate und erwägt, daßsich LI x LO-s-Olx LO auf LO x LV reduciren läßt; so er-