LI. Buch. Vom Verhaltnisse der Figuren. Satz 23—31. iis

der vorigen ahnlich ist, und nur darin von ihr abweicht, daßsich die beiden Sehnen LV und 01) außerhalb statt innerhalbdes Kreises schneiden. Auch der folgende Satz kann noch als einbesonderer Fall des gegenwartigen angeschen werden.

Dreißigster Satz. Lehrsatz.

Fig. 132. Wenn man, von einem Puncte 0 au-ßerhalb eines Kreises, eine Tangente OL und eineSecante OL zieht; so ist die Tangente die mittlereProportionallinie zwischen der Secante und demaußerhalb liegenden Theile derselben; so, daß 00:OL —OL: 01), oder, was das Nämliche ist: OL'—00X 01).

Denn, zieht man LI) und L0; so haben die Dreiecke OLI)und 0L0 den Winkel 0 gemeinschaftlich; ferner hat der WinkelOL», zwischen der Tangente und der Sehne, zum Maße dieHälfte des Wogens LI) (2s B. 19r S.). Das nämliche Maßhat der Winkel 0; folglich ist der Winkel OLI) —0. Mithinsind die beiden Dreiecke ähnlich, und man hat die Proportion:00 : OL ^ OL : 01),

welche giebt:

OL'^-00XOV.

Ein und dreißigster Satz. Lehrsatz.

Fig. 133. Wenn man, in einem Dreiecke L110, denWinkel L vermittelst der Linie LI) in zwei gleicheTheile t heilt; so ist das Rechteck unter den SeitenLL und L0 gleich dem Rechtecke unter den Segmen-ten LI) und 1)0, zusammengenommen mit dem Qua-drate der Secante LI).

Man lege einen Krcisumfang durch die drei Puncte L, Lund 0, verlängere LI) bis an den Umfang, und ziehe 00.

Das Dreieck LL1) ist dem Dreiecke 0L0 ähnlich; denn, derVoraussetzung nach, ist der Winkel LLV—0L0; außerdem aberist der Winkel L —0, weil sie Heide die Hälfte des Bvgens L0zum Maße haben; folglich sind diese Dreiecke ähnlich, und ihreahnlich liegenden Seiten geben die Proportion LL: L0 — LI) :L0.