IO. Buch. Vom Verhältnisse der Figuren. Satz. 22. 23. 8?

Drittens, ist die senkrechte Linie AO die mittlereProportionale zwischen den beiden Abschnitten LI)und OL.

Denn, erstlich, haben die Dreiecke LAO und LAL denWinkel L gemeinschaftlich; der rechte Winkel LOA aber ist demrechten Winkel LAL gleich; folglich ist der dritte Winkel deseinen Dreiecks dem dritten Winkel des andern gleich; folglichsind diese beiden Dreiecke gleichwinklig und ahnlich. Eben solaßt sich beweisen, daß die Dreiecke OAL und LAL ähnlich sind.Folglich sind alle drei Dreiecke gleichwinklig und ähnlich.

Zweitens. Weil die Dreiecke LAO und LAL ähnlichsind, so stehen ihre gleichlicgcndcn Seiten in gleichem Verhält-nisse. Nun sind die Seiten, LI) in dem kleinen, und LA indem großen Dreiecke, ähnlich liegende, weil sie gleichen WinkelnLAO und LLA gegenüber stehen; ferner sind, die HypothcnuseLA im kleinen, und die Hypothenuse LL im großen Dreiecke, ähnlichliegende Seiten; also ist LI): LA — LA: LL. Eben so ist OL: AL-^-AL:LL; folglich ist, zweitens, jede der beiden Seiten ALund AL die mittlere Proportionale zwischen der Hypothenuseund dem an der Seite liegenden Abschnitte.

Drittens. Endlich giebt die Achnlichkcit der DreieckeMO und AOL, wenn man die ähnlich liegenden Seiten ver-gleicht, LO:AV—AO-OL; folglich ist die senkrechte Linie AUdie mittlere Proportionale zwischen den Abschnitten Lv und OLder Hypothenuse.

A n in erku n g. Aus dem Verhältnisse LO: AL — AL:LLfolgt, wenn man die Producte der äußern und mittler» Gliedergleich setzt: AL'-^LOXLL. Eben so: AL'^OLXLL;also AL"-ftAL°—LOxLLss-OLxLL. Das zweite ist mit(LLft-OL)xLL einerlei, und rcducirt sich aufLLxLL oderL(?. Also ist AL'ft-AL^ —LI7; folglich ist das Quadrat überder Hypothcnuse gleich der Summe der Quadrate über denbeiden Seiten AL und AL. Wir finden also hier den Satzvon dem Quadrate der Hypothcnuse auf einem, von dem obi-gen sehr verschiedenen, Wege; es folgt daraus, daß auch derSatz von dem Quadrate der Hypothenuse eine Folge von derProportionalität der Seiten gleichwinkliger Dreiecke ist. DieHauptsätze der Geometrie reduciren sich also gleichsam auf den