III. Buch Vom Verhältnisse der Figuren. Satz 21. 85
Anmerkung. In dem Falle paralleler Seiten sind dieparallelen Selten die ahnlich liegenden; und, im Falle der senk-rechten, sind es die senkrechten. Also sind im letzten Falle VIund AL, VI' und AI, IH? und LI, die ahnlich liegendenSeiten.
Im Falle der senkrechten Sekten könnten die Dreiecke eine,von der in der 124ten Figur verschiedene, Lage haben. Aber dieGleichheit der Winkel, der Reihe nach, ließe sich dennoch bewei-sen, entweder durch Vierecke, wie AIVII, in welchen zwei Win-kel reckte sind, oder durch Nergleichung zweier Dreiecke, welche,nebst den Winkeln, die dem Scheitel gegenüber liegen, jedes einenrechten Winkel haben. Auch kann man immer annehmen, daßinnerhalb des Dreiecks ALI ein Dreieck MI gezeichnet sei,dessen Seiten mit denen des Dreiecks ALI parallel sind; unddann geht der Beweis, in den, auf die 124ste Figur passen-den, über 5).
*) Dieser ein und zwanzigste Satz bezieht sich blos auf dieLage zweier Dreiecke gegen einander in der Ebene, nicht, wiebei andern Fällen der Achnlichkeit der Dreiecke, auf die Lage derSeiten der Dreiecke unter einander in jedem besonders, oder,was dasselbe ist, auf die Gestalt der Dreiecke an sich. Deshalb istzu merken, daß dieser Fall keiner derjenigen ist, in welchem Dreiecke,ihrer eigenthümlichcn Beschaffenheit nach, ahnlich sind. Solcher we-sentlichen Falle gicbt es nur viere, nämlich;
1. wenn zwei Winkel einzeln gleich sind:
2. wenn ein Winkel gleich ist, und die beiden ihn einschließen-den Seiten proportional sind;
3. wenn zwei Seiten proportional sind, und die, den größerngegenüberliegenden, Winkel gleich sind;
4. wenn alle drei Seiten proportional sind.
Uebrigens ist der 21ste Satz nicht auf die wechselseitige Pcr-pcndicularität der Seiten beschränkt, sondern er gilt allgemein, fürjeden Winkel, unter welchem Dreiecke gegen einander liegen mögen,und heißt also:
Wenn die Seiten eines Dreiecks mit den Sei-ten eines andern gleiche Winkel machen; sosind die Dreiecke ahnlich.
In demselben ist zugleich der Fall des Parallelismus der Seiten mitbegriffen.
Der Beweis ist, mit einer geringen Abweichung, dem Legen-di! sehen ganz ahnlich, nämlich folgender: