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Geometrie.

Fig. 122. Der Winkel A sei gleich O und AD-DD—A(DDD;so behaupte ich, daß das Dreieck ADD dem Dreiecke ODO ähn-lich ist.

Man mache AD-^OD und ziehe OD mit DD parallel; sowird der Winkel ADDI dem Winkel ADD gleich sein (1s B.24r S.). Die Dreiecke LDH und ADD werden also gleichwink-lig sein; folglich wird AD-AD—AD.-AID sein. Aber, der Vor-aussetzung nach, ist AD-DD—AD-OD, und der Constructionnach, AD —DD; also ist AID—DD. Die beiden Dreiecke .4 (Dlund DDD haben also einen gleichen Winkel zwischen gleichenSeiten; folglich sind sie gleich. Aber die Dreiecke ADD! undAHL sind ahnlich; folglich sind auch die Dreiecke ODD undADD ahnlich.

Ein und zwanzigster Satz. Lehrsatz.

Wenn die Seiten eines Dreiecks mit den ah Ir-lich liegenden Seiten eines andern parallel sind,oder auf denselben senkrecht stehen, so sind dieDreiecke ahn lieh.

Fig. 123. Erstlich. Wenn die Seite AD mit OD parallelist, und DD mit DD; so ist der Winkel ADD gleich dem WinkelDDD (1s B. 27r S.). Ist ferner AD mit OD parallel; so istder Winkel ADD gleich dem Winkel ODO und DAD--DVD;also sind die Dreiecke ADD und DDD gleichwinklig, und folglichähnlich.

Fig. 124. Zweitens. Die Seite DD sei senkrecht aufAD, die Seite DD auf AD; so sind, in dem Vierecke AIDII, diebeiden Winkel I und DI rechte. Alle vier Winkel desselben abersind zusammen gleich vier rechten (1s B. 20r S.); folglich sinddie beiden übrigen IAID und IVO gleich zwei rechten. Aber diebeiden Winkel DDD und IDD sind auch gleich zwei rechten;also ist der Winkel DDD dem Winkel IAID, oder DAD, gleich.Eben so wird, wenn die dritte Seite DD senkrecht auf derdritten DD steht, bewiesen, daß die Winkel DDD —D undDDD —L sind; folglich hat das Dreieck DDD, dessen Seitenauf denen des Dreiecks ADD senkrecht stehen, mit demselbengleiche Winkel, und ist ihm also ähnlich.