III. Buch. Vom Verhältnisse der Figuren. Satz 19. 2V. 8Z

folglich sind in den Dreiecken I?M und MI? die drei Seiteneinzeln gleich; folglich sind die Dreiecke gleich (1s B. 11r S.).Aber nach der Constructivn sind die Dreiecke I?LI? und QIEgleichwinklig; folglich sind auch die Dreiecke MI? undgleichwinklig und ahnlich. ^

I. Anmerkung. Aus diesen beiden Sätzen sieht man,daß, bei Dreiecken, die Gleichheit der Winkel eine Folge ausdem gleichen Verhältnisse der Seiten ist, und umgekehrt; so,daß eine dieser Bedingungen für die Aehnlichkeit der Dreieckehinreicht. Bei Figuren von mehr als drei Seiten ist dies nichtder Fall; denn schon bei Vierecken können die Seiten, ohnedaß sich die Winkel änderten, andere Verhältnisse haben, oderdie Winkel können sich ändern, ohne die Seiten; folglich ist,schon bei Vierecken, die Gleichheit des Verhältnisses der Seitenkeine Folge der Gleichheit der Winkel, und umgekehrt. Mansieht z. B. Fig. 12l., daß, wenn man I?I? mit M parallelzieht, die Winkel des Vierecks ^bilW denen des Vierecks tlLEOgleich sind; aber das Verhältnis! der Seiten ist ein anderes;eben so, ohne die vier Seiten Ql, IIE, EU und ^U zu ver-ändern, kann der Puuct II dem Puncte 10 näher rücken; welchesdie Winkel verändert.

II. Anmerkung Die beiden letzten Sätze, welche eigent-lich nur einen ausmachen, verbunden mit dein Satze vom Qua-drate der Hypothcnusc, sind die wichtigsten und folgereichsten inder Geometrie. Sie reichen beinahe allein zu allen Anwendun-gen und zur Auflösung aller Aufgaben hin. Dieses kommtdaher, weil alle Figuren in Dreiecke, alle Dreiecke aber wie-derum in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden können^).So umfassen die allgemeinen Eigenschaften der Dreiecke die allerandern Figuren.

Zwanzigster Satz. Lehrsatz.

Zwei Dreiecke, welche einen gleichen Winkelzwischen gleich proportionirten Seiten haben, sindähnlich.

Es wäre sehr interessant, diese wichtige Behauptung genauerzu rechtfertigen. Anw. d. Ucbers.

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