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Geometrie.

Endlich folgt aus diesen beiden Verhältnissen, weil sie beidedie Glieder LE und ED haben,

AE-DD —LA:ED.

Folglich sind, in den gleichwinkligen Dreiecken LAE undEDD, die ahnlich liegenden Seiten in gleichem Verhältnisse.Aber nach der zweiten Erklärung sind zwei Figuren ähnlich,wenn sie gleiche Winkel haben, und die ähnlich liegenden Seitenin gleichem Verhältnisse sind; folglich sind die beiden gleichwink-ligen Dreiecke LA.E und EDD ähnliche Figuren.

Zusatz. Damit zwei Dreiecke ähnlich sind, reicht es zu,wenn zwei Winkel in dem einen so groß sind, als in dem an-dern; denn alsdann ist auch der dritte Winkel gleich, und diebeiden Dreiecke sind gleichwinklig.

Anmerkung. Es ist zu merken, daß sich in ähnlichenDreiecken die ähnlich liegenden Seiten den gleichen Winkelngegenüber befinden. So sind die Seiten Ali und DE ähnlichliegende, wenn der Winkel AEL dem Winkel DDE gleich ist.Eben so sind AE und DD ähnlich liegende Seiten, weil sie sich 'den gleichen Winkeln ALE und DED gegenüber befinden. Kenntman die ähnlich liegenden Seiten; so hat man sogleich folgendeVerhältnisse:

AL:DE^AE:DD^LE-ED.

v /

Neunzehnter Satz. Lehrsatz.

Zwei Dreiecke, deren ähnlich liegende Seitenin gleichem Verhaltnisse stehen, sind gleichwink-lig und ähnlich.

Fig. 120. Man setze, es sei LE:DD—AL:DD^AE:DD;so behaupte ich, daß die Dreiecke ALE und DDD gleichwinkligsind, und daß folglich A—D, L—D, E —D ist.

Denn, man mache, im Punctc D, den Winkel DDE—L,und, im Punkte D, den Winkel DDE —E; so wird der dritteWinkel E dem dritten A gleich, und die beiden Dreiecke ALEund DDE werden gleichwinklig sein; folglich wird, vermöge desvorigen Satzes; LE-DD—AL-DE sein. Aber nach der Vor-aussetzung ist LE:DD —AL:DD; also ist DE—DD. Vermögedes nämlichen Satzes ist ferner LE:DD—AE-DE; aber nachder Voraussetzung ist LE:DD —AE:DD; also ist DE —DD;