DI. Buch. Vom Verhältnisse der Figuren. Satz 16—13. kl

Man ziehe LL, durch mit AD parallel, bis sie die Ver-längerung von LA schneidet.

In dem Dreiecke VW ist die Linie AD mit der Grund-linie LL parallel; also ist:

LD:DL---AL:AL (IZr S.).

Aber das Dreieck ALL ist gleichschenklig; denn wegen derParallelen AD und LL ist der Winkel ALL —DAL, und derWinkel ALL —LAD (1s B. 24r S.). Aber nach der Voraus-setzung ist DALLAD; also ist der Winkel ALL—ALL, undfolglich AL —AL (1s B. 13r S.). Setzt man in der obigen-Proportion AL an die Stelle von AL, so erhalt manLD.-DL^-AL:AL.

Achtzehnter Satz. Lehrsatz.

In gleichwinkligen Dreiecken sind die ähnlichliegenden Seiten in gleichem Verhaltnisse, und dieDreiecke sind ahnlich.

Fig. 119. ALL und LDL sollen Dreiecke sein, derenWinkel einzeln gleich sind, nämlich LAD —LDL, ALL—DLLund ALL —DLL: so behaupte ich, daß die, ähnlich, oder angleichen Winkeln liegenden, Seiten in gleichem Verhaltnisse sind,so, daß LL:LL-^AL:LD^AL:DL.

Man lege die homologen Seiten LL und LL in einerleiRichtung, und verlängere die Seiten LA und LD, bis sie sichin L schneiden.

Da LLL eine gerade Linie, und der Winkel LLA —LLDist; so folgt, daß AL mit DL parallel ist (1s B. 24r S.).Eben so, weil der Winkel ALL—DLL, ist die Linie AL mitDL parallel; folglich ist die Figur ALDL ein Parallelogramm.

In dem Dreiecke LLL ist die Linie AL mit der Grund-linie LL parallel; also ist LL-LL —LA-AL (I6r S.). Setzt'man nun statt AL die ihr gleiche LD, so hat man:

LL:LL —LA:LD.

Nimmt man, in demselben Dreiecke, LL zur Grundlinie; soist LD mit dieser Grundlinie parallel, und man hat das Ver-hältniß: LL-LL —LD:DL. Statt LD setze man die ihr gleicheAL: so erhält man:

LL:LL^AL.DL.

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