8V Geometrie.

oder OK-OK -AK-OK. In dem Dreiecke OOII ist, auf gleicheWeise, OK-KO^OK-KII, vder OK-0K---KO-KD; folglich,vermöge der gemeinschaftlichen Glieder OK und OK, AK-OK---KO-IM. Eben so wird bewiesen, daß KO-KK —OK-DDu. s. w. Folglich werden die Linien AK und Ol.) von denParallelen kk und OK in gleichen Verhaltnissen geschnitten*).

Sechszehntcr Satz. Lehrsatz.

Fig. 116. Wenn, umgekehrt, die Seiten AK undAO von der Linie DK in gleichem Vcrhaltniß ge- »Ischnitten werden, so, daß AD-DK—AK-KO; so be- lHaupte ich, daß die Linie DK mit der GrundlinieDO parallel ist.

Denn, wäre nicht DK mit KO parallel, so sei es DO;dann ist, zufolge des vorigen Lehrsatzes, AD-KD—AO-OO.

Aber nach der Voraussetzung ist AD-DK—AK-KO; also müßtesein: AO-OO—AK-KO, welches unmöglich ist, weil dasVorderglied AK grüßer ist, als AO, das Hinterglied KO aberkleiner, als OK; folglich kann eine durch den Punct D mit DOgezogene Parallele nicht von DK abweichen. Mithin ist DKdiese Parallele selbst.

Anmerkung. Der nämliche Schluß findet Statt, wennman die Proportion AK-AD —AO-AK voraussetzt. Denn die-selbe giebt AK — AD : AD AO — AK - AK, vder KD .- AD^ OK - AK.

Siebzehnter Satz. Lehrsatz.

Fig. 117. Die Linie AD, welche den Winkel KAOein es Dreiecks halbirt, theilt die Grundlinie KO Vin zwei Abschnitte KD und DO, welche sich wie dieanliegenden Seiten AK und AO verhalten, so, daß

KD-DO^AK-AO. ,

H Hier ist die Lehre von den Verhaltnissen der Linien, undfolglich von der Achnlichkeit der Figuren, auf die Lehre von derGröße der Figuren gebaut, und unmittelbar mit ihr verbunden.Beide lassen sich auch von einander abgesondert vortragen.

Anm. d. Uebers.