Geometrie.

Anmerkung. Das rechtwinklige Dreieck ist das einzige,in welchem die Summe der Quadrate zweier Seiten dein Qua-drate der dritten gleich ist; denn, wenn der Winkel zwischen denSeiten spitz ist; so ist die Summe ihrer Quadrate großer, undwenn er stumpf ist, kleiner, als das Quadrat der gegenüberlie-genden Seite.

Vierzehnter Satz. Lehrsatz.

Fig. 112. Wenn man in einem beliebigen DreieckeAlZd, aus einem Winkelscheitel, nach der Mitte dergegenüberliegenden Seite, die Linie Ast zieht; so istAst--stA<st^2AIst-st2stlst.

Man ziehe Ast auf die Grundlinie lZd senkrecht; so giebtdas Dreieck Astd, vermöge des zwölften Lehrsatzes,

Ad-^Ast--ststd-—stdxstst.

Das Dreieck Allst giebt, vermöge des dreizehnten Lehrsatzes,Ast- ^ Alst -ststlst -s- stlZXkl).

Zieht man beides zusammen und bemerkt, daß still —stdist; so erhalt man

Ast-st-Alst--2 Alst-st stlst.

Zusatz. Folglich ist in jedem Parallelogrammedie Summe der Quadrate der Seiten gleich derSumme der Quadrate der Diagonalen.

Fig. 113. Denn die Diagonalen Ad und stv Halbireneinander in st (1s B. 31r S); also giebt das Dreieck Astd:Ast--st st d---2 Alst-st stlst.

Das Dreieck Astd giebt auf gleiche Weise:

Alst -st st (stallst-st 2 stlst.

Zieht man Beides, Glied um Glied, zusammen, und erwägt, daßLst —stst ist; so erhalt man

Alst - st Alst - st stlst st- stlst 4 Ast- -st vst-.

Aber 4 Ast- ist das Quadrat von 2 Ast, oder von Ad; 4stlst istdas Quadrat von stst; also ist die Summe der Quadrate derSeiten gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen*).

*) Wenn man Satze, wie diese, in die Elemente der Geo-metrie aufnehmen will; so haben noch gar viele andere ein Recht