VZ^Buch. Vom Verhältnisse der Figuren. Satz 12. 13. 7?

vv'—t,v2LvxV(l. Rechnet man auf beiden Sei-ten ^0° hinzu; so folgt daraus

Av- v(7 -si AU' — 2 vv X vv.

Dreizehnter Satz. Lehrsatz.

Fig. III. Wenn in einem Dreiecke ALU der Win-kel V stumpf ist; so ist das Quadrat der gegenüber-liegenden Seite ^.11 größer, als die Summe der Qua-drate der Seiten, welche den Winkel v einschließen,und, wenn m a u A v s e n k r e ch t aufLUzieht; so ist derUnterschied gleich dem doppelten Rechtecke VVXVV; folglich'ist

AV^A<?-s-L(7-j-2i;e ^ ev.

Das Perpendikel kann nicht in das Dreieck fallen; dennsiele es z. B. in v; so würde das Dreieck A(öL zugleichden rechten Winkel v und den stumpfen U haben, welches un-möglich ist (1s B. ISr S.); folglich fallt es außerhalb, und esist vv —UV. Daraus folgt (8r S.) VV-—VU"-j-UV'-j-2vUxUlv. Rechnet man auf beiden Seiten Av" hinzu, undmacht die nöthigcn Rcductionen, wie im vorigen Lehrsätze, sofolgt Av' ^ VU' ss- ^ -ch 2 VU X UV

ch Fig. 6. Die obigen Satze 8 und 9 sind zu den Sätzen12 und 13 nicht nochwendig; vielmehr können die letztern kürzer auffolgende Art bewiesen werden: Wenn AU, UV und (Iii. die Qua-drate über AU, All und UU sind, so ist IUI — AU, UK—IZU undVUU —AVK; also 2>IIUU —Q .AUK. Aber Q. 1IUU — 1 > —! LIund A AUt<. —chuu, alles aus ahnlichen Gründen, wie obenbeim pythagorischen Lehrsatze (11r S.); also ist ! > UI — stuvZU.

Nun ist, eben so, Al>l —AU, AV —AU und ldiAL —VAU;also /XiVAU —/XVAU; und weil /X VAU ^ A AI, /X lVAU

— 2 iHD AU; so ist lAA! AI — i^l! AU. Ganz auf dieselbe Weise iststm; UU ^ UV; also ist LAA AU mni UU oder AU- — um AI ch.UmUU. Aber mAI^AU'— VI und umUU^LU-— mmjvU;also ist AU-—AU-ch-UU"—UlUI—umUU, oder, weil 1—l Ul

— imxuu war,

AU--AU'ch-UU' — 2 I—! LI,wo Um »I — AU ><!AIZ — UU X UV.

Der Beweis behalt denselben Gang, wenn der Winkel U stumpf ist,oder U oder U nicht in die Seiten LU und AU fallen.

Anm. d. Ucbers.