Dl Buch. Vom Verhältnisse der Figuren. Sich 11.

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groß ist, als das Dreieck DDE; folglich ist das Rechteck LVDD,welches den: doppelten Dreiecke HDI an Inhalt gleich ist, so groß,als das Quadrat dl l. welches dem zweifachen Dreiecke 1anInhalt gleicht. Eben so kann bewiesen werden, daß das RechteckEVDD so groß ist, als das Quadrat /.I; aber die beiden Recht-ecke DVDD und EVDD machen zusammen das Quadrat Du (Dlaus; also ist das Quadrat DEM über der Hvpvthenusc gleichder Summe der Quadrate über den andern beiden Seiten, oder:DG-^D--l-H<R.

I. Zusatz. Folglich ist das Quadrat des einen Schenkelseines rechten Winkels gleich dem Quadrate der Hypothcnuse, we-niger das Quadrat des andern Schenkels; welches sich so aus-drücken laßt:

Uli'

Fig. 113. II. HDEV ein Quadrat, HE

seine Diagonal; das alsdann rechtwinklig und

gleichschenklig; also ist HE'^ HD'-s-DE^2HD-; folglichist das Quadrat über der Diagonal HE eines Qua-drats gleich dem zweifachen Quadrate über derSeite HD.

Diese Eigenschaft laßt sich sinnlich darstellen, wenn niandurch die Puncte H und E Parallelen mit DO, und durch diePunctc D und v Parallelen mit HE zieht: alsdann entsteht einneues Quadrat DDED, welches das von HE ist. Aber, wie mansieht, enthalt DDDD acht Dreiecke, deren jedes HDD gleich ist,wahrend HDED nur vier derselben enthalt; also ist das Qua-drat DDED doppelt so groß, als das Quadrat HDED.

Weil HE' : HD' ---2:1; so findet man, wenn man dieQuadratwurzel auszieht: HE : HD— /2 : 1; folglich ist dieDiagonal eines Quadrats, im Verhältnis; zu seinerSelite, incommensurabel.

Dieser Satz wird bei einer andern Gelegenheit weiter ent-wickelt werden. ,

Fig. 109. III. Zusatz. Es wurde bewiesen, daß dasQuadrat HD so groß ist, als das Rechteck DVDD. Wegen dergemeinschaftlichen Höhe DD verhalt sich aber das Quadrat DEEDzu dem Rechtecke DUM, wie die Grundlinie DD zur Höhe