W Buch. Vom Verhältnisse der Figuren. Satz 9. 10. 73

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überciu.

Zehnter Satz. Lehrsa tz.

Fig. 108. Das Rechteck unter der Summe undDifferenz zweier Linien ist gleich dem Unterschiededer Quadrate dieser Linien. Also ist:

(AU -l- U0) X (AU UU) ^ AU' — L(7.

Man beschreibe über AU und AU die Quadrate AUIU undAEW. Man verlängere AU um Ulv—LU, und vollende dasRechteck AlAUU. Die Grundlinie AIv dieses Rechtecks ist dieSumme der beiden Linien AU und UU; seine Hohe ist der Un-terschied der nämlichen Linien; folglich ist das Rechteck AlvW —(AU-i-LU) X (AU—LU). Aber dieses Rechteck ist aus denbeiden Theilen AUW und UWX zusammengesetzt, und derTheil U1IUIA ist dem Rechtecke UVW gleich, weil Uli—Wund Llv-Wb; also ist AIvUI^AUIiU-ssUVW. Aber diesebeiden Thcile machen zusammen das Quadrat AUUss weniger dasQuadrat 19111(1, aus, welches letztere das Quadrat über UU ist;also ist (AU-i-UU)X(AL —UU)^AU' — UU'.

Anmerkung. Dieser Satz kommt mit der algebraischenFormel

(a -ss d) (a —b) — a' — b'.

übercin *).

Die drei Sätze 8, 9 und 10 können, meines Erachtens,füglich wegbleiben; denn, wenn einmal bewiesen worden, daß die Zahlderjenigen Quadrate über der Maß-Einheit, die sich in der Flacheeines Parallelogramms befinden, das heißt, der Inhalt des Paralle-logramms, gleich ist dem Producte der Zahlen der Maß-Einheitenin der Grundlinie und Höhe: daß also, z. B. der Inhalt des Qua-drats über n durch a', der Inhalt des Rechtecks unter a und ddurch a V ausgedrückt werden kann; so folgt unmittelbar, daß sichder Inhalt des Quadrats über a-ssli durch (a-ssb)', der Inhaltdes Quadrats über s — st durch (a — st)', der Inhalt des Rechtecksunter a-j-st und a — b durch (a-j-st)(a— b) ausdrücken lasse.Daß nun (a-j-st)' —m-s-2ast-s-!>', (k>—st)' —u'—2ast-s-st',Gst-b) (a — st) — n'—st' ist, läßt sich algebraisch, oder abstract,kürzer zeigen, als geometrisch. Die Bedeutung der einzelnen Theileder entwickelten Größen aber kann man in der Figur nach Beliebenaussuchen. Es ist nicht einzusehen, welchen wesentlichen Nutzen das