III, Buch. Vom Verhältnisse der Figuren. Satz 2. 3. N7

Man setze zuerst, daß die Grundlinien unter sich commen-surabel sind, und sich, z. B., wie 7 zu 4 verhalten; so werden,wenn man 4L in 7 gleiche Theile theilt, auf 41 vier dieserTheile kommen. Man ziehe durch jeden Theilungspunct einegerade Linie auf die Grundlinie senkrecht; so entstehen siebenkleinere Rechtecke, welche gleich groß sind, weil sie gleiche Grund-linien und Höhen haben. Das Rechteck 4LLI) wird sieben die-ser kleineren Rechtecke enthalten, wahrend 4111) deren viere ent-halt; folglich verhalt sich das Rechteck 4L(!0 zu dem Rechtecke^1,1 1), wie 7 zu 4, oder, wie 4L zu 41. Der Beweis bleibtder nämliche für jedes andere Zahlenvcrhältniß; folglich ist fürjedes beliebige Verhaltniß, so lange es commensurabcl ist:4LE1) - 4111) ----- 4L : 41.

Fig. 100. Nun setze man, zweitens, die Grundlinien 4Lund 41 wären, unter sich incommensurabel; so behaupte ich,daß dennoch

4L1V : 4111) ---- 4L : 41ist. Denn fände dieses Verhältnis; nicht Statt, so würde dasvierte Glied größer oder kleiner sein müssen, als Hü, wahrenddie drei ersten die nämlichen bleiben. Angenommen, es sei gro-ßer, und

4L1L: 4110 ---- 4L - 40,so theile man die Linie 4L in gleiche Theile, die kleiner sind,als 10; alsdann fällt nothwendig wenigstens Ein ThcilungspunctI zwischen 1 und 0. Durch diesen Punct ziehe man llv auf41 senkrecht; so wird, vermöge des oben bewiesenen Satzes,weil jetzt die Grundlinien 4L und 41 unter sich commensura-bcl sind,

4L11>:4IX1>----,4L:4I

sein. Nach der Voraussetzung sollte sein:

4L11) - 4110 ------ 4L : 40.

In diesen beiden Verhältnissen sind die Vorderglieder dieselben;folglich müssen die Hinterglieder proportional seim; woraus folgt:

41X0 : 4111) 41: 40.

40 aber ist größer, als 41- also müßte, damit die Proportionmöglich sei, das Rechteck 4110 grüßer sein, als 41X0. Es istaber im Gegcnthcil kleiner; also ist das Verhaltniß unmöglich.

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