III. Buch. Vom Verhältnisse der Figuren. Satz 1. <Z5

Einige unserer Beweise sind auf einfache Regeln der Al-gebra gegründet, welche sich weiter aus bekannte Grundsatzestützen. So z. B., wenn ^ —V -j -E ist, und man multipli-cirt jedes Glied mit einer und derselben Große stl; so folgt dar-aus desgleichen, wenn I5-s-Eund v —L — E ist, und man rechnet diese Großen zusammen;so folgt, nachdem-si E und — L, welche sich aufheben, weggelassenworden, /V st- I) — U st- kl u. s. w. Alles dieses ist an sich klar;entsteht aber irgendwo eine Schwierigkeit, so darf man nur dieLehrbücher der Algebra nachschlagen und solchergestalt das Stu-dium der beiden Wissenschaften verbinden^).

Erster Satz. Lehrsatz.

Parallelogramme von gleichen Hohen undGrundlinien sind gleich groß.

Fig. 36. LV sei die gemeinschaftliche Grundlinie zweier

H Daß der Begriff der Zahl, und die Rechenkunst, in der Geo-metrie, schon von den ersten Elementen an, unentbehrlich sind, istunleugbar, und es scheint der Natur der Sache gemäß, die Rechen-kunst in ihrem ganzen weiten Umfange, überall, wo sie nützlichsein kann, ungescheut in der Geometrie anzuwenden. Das Rein-Geometrische, was der eigentlichen Rechenkunst nicht bedarf, ist vondem klebrigen scharf geschieden. Es ist ungefähr das, was Legen-dre's erste beiden Bücher der Geometrie enthalten. Sobald manzu der Untersuchung der Größe und Aehnlichkeit der Figuren fort-schreitet, ist die Rechenkunst nothwendig. Sucht man, über dieseGrenze hinaus, noch weiter ohne Rechnung fertig zu werden, so thutman gewöhnlich nicht wohl. Die Rechenkunst benimmt nicht alleinder Strenge der Beweise Nichts, sondern sie erhöht sie noch, weilsie abstracter ist. Gegentheils erleichtert sie gewöhnlich die Untersu-chungen, und zwar, je weiter man kommt, das heißt, je zusam-mengesetzter die Fälle werden, immer mehr. Es ist also gut, inder Geometrie die Rechenkunst so viel, als möglich, und nicht etwaso wenig, als möglich, anzuwenden, weil die abstracte Vorstellung,und das leichteste Mürel zum Zweck, gewöhnlich die klareren, undfolglich die besseren sind. Wie sich das Rein-Geometrische vondem, was den Begriff der Zahl zur Hülfe nimmt, nach der Naturder Sache scharf sondern laßt, und zu sondern sein dürfte, kannman z. B. in dem oben erwähnten Lehrbcgriss der Geometrie desUebersetzers sehen. Anm. d. Uebers.