Aufgaben zum 1. und 2. Buche. Aufgabe 16—13. 5!)
Alsdann ist dieser letzte Nest das gemeinschaftliche Maß dergegebenen Linien, und man findet, wenn man ihn zur Einheitannimmt, leicht den Werth der vorhergehenden Reste, also zuletztden Werth der beiden gegebenen Linien; woraus sich ihr Ver-hältniß in Zahlen berechnen laßt.
Findet man z. B., daß ED gerade zweimal in ED ent-halten ist, so ist DE das gemeinschaftliche Maß der beiden ge-gebenen geraden Linien. Es sei DE —1, so ist ED —2. AberED enthalt ED einmal, und dann Ell; also ist EL —3; EI)enthalt einmal EI), und dann ED; also ist ED—Z; endlichenthalt All, El) zweimal, nebst Ell; also ist All —13: folglichist das Verhältnis? der beiden Linien All und El) das von 13zu Z. Nähme man die Linie El) zur Einheit, so würde dieLinie AD—sein; und nähme man die Linie All zur Ein-heit, so wäre die Linie ED—^5.
Anmerkung. Das Verfahren ist das nämliche, welchesdie Arithmetik lehrt, den gemeinschaftlichen Divisor zweier Zah-len zu finden; dasselbe bedarf also keines besondern Beweises.
Es kann kommen, daß man nie einen Rest findet, welcherin dem ihm vorhergehenden gerade aufgeht, so weit man auchdas Verfahren fortsetzen mag. Alsdann haben die beiden Linienkein gemeinschaftliches Maß, und sind, was man nennt, in-kommensurabel. Man wird ein Beispiel davon weiter unten,bei dem Verhältnis; der Diagonal zur Seite eines Quadrats,sehen. In diesem Falle also ist das Vcrhältniß in Zahlen nichtzu finden: läßt man aber den letzten Rest weg, so wird manein mehr oder weniger sich näherndes Verhältnis? erhalten, jenachdem man die Operation mehr oder weniger weit fortgesetzt hat.
A ch t z e h n t e Aufgab e.
Fig. 91. Das gemeinschaftliche Maß zweier ge-gebenen Winkel, wenn sie ein solches haben, unddaraus ihr Verhältnis; in Zahlen, zu finden.
Man beschreibe, mit gleichen Halbmessern, die Bogen EI)und EE, welche zum Maße der Winkel dienen. Dann verfahreman bei der Vergleichung dieser Bogen ED und EE, wie beider vorigen Aufgabe.
Ein Bogen kann nämlich auf einen andern, vom nämlichen
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