Aufgaben zum 1. und 2. Buche. Aufgabe 13—1Z. 57

er in einem Halbkreise liegt, ein rechter (2s B. 18r S.); alsoist die Linie TU auf dem Ende des Halbmessers LR senkrecht;folglich ist sie eine Tangente.

Anmerkung. Man sieht, daß, wenn der Punct T außer-halb des Kreises liegt, immer zwei gleiche Tangenten TV undLI) durch denselben gezogen werden können. Sie sind einandergleich, weil in den rechtwinkligen Dreiecken 011T und 0I)T dieHypothcnuse 0T gemeinschaftlich, und die Seite 011^01) ist,weshalb diese Dreiecke gleich sind (1s B. 18r S.); woraus folgt,daß T1)—TV, und zugleich der Winkel 0TV —LTV.

Fünfzehnte Aufgabe.

Fig. 87. Einen Kreis in ein gegebenes DreieckTLL zu beschreiben.

Man theile die Winkel T und v in zwei gleiche Theile, mit-tels der Linien T0 und L0, welche sich in 0 schneiden; ausdem Puncte 0 ziehe man OD, 01? und 0? auf die drei Sei-ten des Dreiecks senkrecht; so behaupte ich, daß diese drei senk-rechten Linien einander gleich sind; denn, vermöge der Cvnstru-ction ist der Winkel 1)T0 —0T?, und der rechte Winkel TI)0--^T?0; folglich ist der dritte Winkel 0T1) dem dritten T0? gleich.Ferner ist die Seite T0 beiden Dreiecken T0? und TOI) ge-mein, und die an dieser gleichen Seite liegenden Winkel sindgleich; folglich sind diese beiden Dreiecke gleich; folglich ist 1)0 —0?. Eben so laßt sich beweisen, daß die beiden Dreiecke 1101)und 110? gleich sind. Also ist auch 01) —0?; mithin sind diedrei senkrechten Linien 01), 0? und 0?, unter einander gleich.

Beschreibt man nun aus dem Punct 0, mit dem Halb-messer 01), einen Kreis; so ist klar, daß dieser Kreisumfang indas Dreieck LDL eingeschrieben sein wird; denn, die auf dem Endedes Halbmessers 01) senkrechte Seite TV ist eine Tangente.Eben das sind die Seiten 110 und TL.

Anmerkung. Die drei Linien, welche die Winkel einesDreiecks Halbiren, schneiden sich in einem und demselben Puncte.