II. Buch. Vom Kreist u. dem Maße d. Winkel. Satz 17. 4?

Es ist also genau gleich tlv, und es findet die Proportion Statt:Winkel ALL: Winkel ACV — Bogen All: Bogen AO *).

Zusatz. Da der Winkel am Mittelpunkte eines Kreises,und der zwischen seinen Schenkeln liegende Bogen, so in Verbin-dung stehen, daß, wenn der eine in irgend einem Vcrhaltniß zu-vder abnimmt, der andere in dem nämlichen Vcrhaltniß großeroder kleiner wird; so ist man berechtigt, eine dieser Großen zumMaße der andern anzunehmen. Wir werden also fortan denBogen All zum Maße des Winkels ACL gebrauchen. Bei derVerglcichung der Winkel unter einander ist nur zu beobachten,daß die Bogen, welche ihnen zum Maße dienen, mit gleichenHalbmessern beschrieben sein müssen; denn dieses setzen alle obi-gen Satze voraus.

I. Anmerkung Es scheint zwar natürlicher, eine Größedurch eine andere ihrer Art zu messen, und folglich passend, alleWinkel auf den rechten zu beziehen. Wenn der rechte Winkeldie Einheit des Maßes wäre, so würde ein spitzer Winkel durcheine Zahl ausgedrückt werden können, die zwischen 0 und 1 liegt,ein stumpfer Winkel durch eine Zahl zwischen 1 und 2. Aberdiese Art die Winkel zu messen ist nicht praktisch bequem; des-halb hat man es besser gefunden, die Winkel durch die zugehöri-gen Kreisbogen auszudrücken, weil es nämlich leicht ist, Bogen zubeschreiben, die gegebenen Bogen gleich sind; und aus andernGründen. Obgleich dieses Messen der Winkel durch Kreisbogenin gewisser Art indirect ist, so ist es dennoch leicht, dadurch aufdas dirccte und absolute Maß zu kommen; denn vergleicht manden Bogen, welcher zum Maße eines Winkels dient, mit demvierten Theile des Kreisumfanges, so findet man das Vcrhaltniß

*) Der Beweis, daß zwei Größen, von welchen gezeigt worden,daß sie sich wie zwei andere verhalten, im Falle beide Paare vonGrößen ein gemeinschaftliches Maß haben, eben dieses Vcrhaltnißauch noch in dem Falle behalten, wenn sie incommensurabel sind,darf gewiß niemals übergangen werden. Der Beweis kommt in derGeometrie öfter vor, und man kann die Wiederholung desselben er-sparen, wenn man den Satz allgemein zeigt. Ich habe es in mei-nem oben erwähnten Lehrbuche der Geometrie gethan (Ister BandH. 169. S. 126). Anm. d. Uebers.