Geometrie.

Anmerkung. Umgekehrt: wenn sich die Bogen AL undDL wie zwei ganze Zahlen verhalten, werden sich auch die Win-kel ALL und DLL wie die nämlichen Zahlen verhalte», und eswird immer sein: ALL:DLL—AL-DL; denn die Theilc desWogens, Ain, um etc., Dx, x^ ele., sind gleich, und die Thciledes Winkels, ALm, inLii ele., Dcx, xL^ nie. ebenfalls.

Siebzehnter Satz. Lehrsatz.

Fig. 63. Jedes beliebige Verhältniß der WinkelALI! und ALI) ist immer dasjenige der Bogen ALund AD, welche zwischen ihren Schenkeln liegen,und, aus ihren Scheiteln, mit gleichen Halbmessernbeschrieben sind.

Man lege den kleinem Bogen in den größern. Fändedas Behauptete nicht Statt, so würde sich der Winkel ALL zumWinkel ALD verhalten, wie der Bogen AL zu irgend einemgroßem oder kleinern Bogen, als AD. Angenommen zu einemgrößcrn AL>; so würde sein:

Winkel ALL: Winkel ALD —Bogen AL: Bogen AL>.Nun werde der Bogen AL in gleiche Theile gcthcilt, deren jederkleiner ist, als DL); so wird wenigstens Ein Theilungspunct zwi-schen D und L> fallen. Derselbe sei I. Man ziehe LI; so wer-den sich die Bogen AL, AI, wie zwei ganze Zahlen verhalten, undes wird also, vermöge des vorigen Lehrsatzes, sein:

Winkel ALL .- Winkel ALI —Bogen AL : Bogen AI.Man vergleiche die beiden obigen Proportionen mit einander, undbemerke, daß die vordem Glieder gleich sind; so folgt, daß die hin-tern Glieder proportional sein müssen, und daß sich also verhalt:

Winkel ALL : Winkel ALI—Bogen AL> : Bogen AI.

Aber der Wogen AL) ist größer, als der Bogen AI: es müßtealso auch, wenn die Proportion Statt fände, der Winkel ALLgroßer, als der Winkel ALI sein: er ist aber im Gcgentheil klei-ner; also ist es unmöglich, daß sich der Winkel ALU zum Win-kel ALL verhalte, wie der Bogen AL zu einem größern Bogen,als AD.

Durch ein gleiches Naisonncmcnt laßt sich beweisen, daß dasvierte Glied der Proportion auch nicht kleiner sein kann, als AD.