II. Buch. Vom Kreise u. dem Maße d. Winkel. Satz 14—16. 45

II. Wenn AL —LL sein soll, so behaupte ich, daß derWinkel ALU dem Winkel DLL gleich sei; denn waren diese Winkeleinander nicht gleich, so sei ALL der größere, und ALI —DLL.Alsdann ist, vermöge des vorhin bewiesenen Satzes, AI^VL;aber, der Voraussetzung nach, ist AL---VL; folglich würde sein:^1 —oder, der Theil dem Ganzen gleich, welches unmög-lich ist; folglich ist der Winkel ALL —DLL.

Sechzehnter Satz. Lehrsatz.

Fig. 62. Wenn sich, in einem und demselbenKreise, oder in gleichen Kreisen, zwei Winkel amMittelpuncte ALL und DLL wie zwei ganze Zahlenverhalten: so verhalten sich die eingeschlossenenBogen AL und VL wie die nämlichen Zahlen, undman hat die Proportion:

Winkel ALL : Winkel DLL^Bogcn All - Bo-g en II L *).

Man setze zum Beispiel, daß sich die Winkel ALL undDLL, wie 7 zu 4 verhalten; oder, was dasselbe ist, man setze:der Winkel AI, welcher zum gemeinschaftliehen Maße dient, seisiebenmal in dem Winkel ALL, und viermal in dem WinkelDLL enthalten. Da die Theilc des Winkels ALm, mLi>, nLpetc., Lax, xLH- Mr., unter einander gleich sind; so werden dieTheilc des Bogcns Am, lim, Up etc., I)x, etc., einanderebenfalls gleich sein (iZter Satz); folglich wird sich der ganzeBogen AL zum ganzen Bogen LL, wie 7 zu 4 verhalten. Esist aber klar, daß der Beweis immer Statt findet, wenn manauch statt 7 und 4 beliebige andere Zahlen annimmt. Kann manalso nur das Verhältnis« der Winkel ALL und DLL in ganzenZahlen ausdrücken, so werden sich die Bogen Av und OLstets wie die Winkel ALL und DLL verhalten.

*) Es wäre vielleicht gut gewesen, vorher eine Erklärung derProportion zu geben, ehe sie gebraucht wird; um so mehr, weil derBegriff der Proportion außerdem entbehrlich ist. Denn, z. B. hierkönnte der Satz so ausgedrückt werden: In einem und demselbenKreise, oder in gleichen Kreisen, sind zwei Bogen und die zugehöri-gen Winkel am Mittelpuncte von einander Gleichvielfache.

Anm. d. Uebers.