I. Buch. Principien. Satz 26. LI

Sechs und zwanzigster Satz. Lehrsatz.

Zwei Parallelen sind überall gleich weit voneinander entfernt.

Fig. 4». Es mögen die beiden Parallelen HL und EL ge-geben sein. Man errichte aus HL, in zwei beliebigen Puncten, diebeiden Senkrechten LO und L11; so sind dieselben zugleich aufllv senkrecht (24ster Satz). Ich behaupte ferner, daß diese ge-raden Linien gleich lang sein werden.

Denn, man ziehe 6?; so werden die Winkel LLL und L(Ll,in Beziehung auf die Parallelen HL und LL, als Wechselwinkcl,einander gleich sein (Anmerkung zum 24sten Satz). Desgleichen,weil die geraden Linien LL und L11 auf einer und derselben Li-nie HL senkrecht, und folglich mit einander parallel sind, wer-den die Winkel LLL und (lsill, in Rücksicht auf die Paral-lelen OL und L11, ebenfalls als Wcchsclwinkel, einander gleich

beweisen, so nahe gekommen ist, als es vielleicht möglich sein mag.Auch hier, und um den Unterricht, hat sich daher der würdige Vete-ran ein Verdienst erworben.

Wenn man, statt den Winkel, wie hier, oder wie beim Eucli-des zu dcsinircn, vielmehr als sein Maß den zum Thcil unbegrenz-ten Raum betrachtet, der zwischen den Schenkeln liegt; so laßt sichdas cilfte Axiom des Euclides ebenfalls ganz strenge beweisen.So ist es z. B. in dem Lehrbuche der Geometrie des Ucbersetzers,Berlin 1826, bei Reimer, geschehen (§. 22. S. 14.). Auch: daßdie drei Seiten der drei Winkel eines Dreiecks zwei Rechte ausma-chen, laßt sich, nach dieser Definition des Winkels, wie folgt,ganz leicht beweisen.

Das Maß zweier rechten Winkel ist nämlich jetzt nichts anders, alsder unbegrenzte Raum an Einer Seite einer geraden Linie. Nun seiHLV (Fig. 4.) das gegebene Dreieck. Man verlängere LH, Uliund H<i; so sieht man, daß die drei Winkelräume I)HL, LLL undKOL zusammen den Raum an der einen (untern) Seite der geradenLinie DU, und noch den Raum des Dreiecks HLli füllen. Dieserletzte Raum kann aber offenbar auch von dem Winkel-Räume LLSweggenommen werden, ohne daß sich dadurch der WinkelLLK (die Neigung der beiden geraden Linien LL und L(4) än-derte. Also beträgt die Summe der drei Winkel VHL, ULKoder L, und KliL, zwei Rechte. Die Winkel LHL und LliLl sindaber, als Scheitelwinkel, den Dreiecks-Winkeln H und li gleich:also beträgt auch die Summe der Dreiecks-Winkel H, L und Lzwei Rechte. Anm. d. Uebers.