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Gr om ctrie.

auf einer und derselben geraden Linie 1^) senkrecht; folglich sindsie parallel (2Ister Satz).

in icdem zusammen, so groß gewesen waren, als die Summe derWinkel des gegebenen Dreiecks KUtst Ferner würde es unter denbeiden Winkeln blAAI und LAi>I nothwcndig Einen gegeben haben,der nicht größer ist, als ^ Die Summe der beiden Winkel beiund iVl, in den Dreiecken und AAL, würde gleich dem

Winkel VAL, mithin nicht größer gewesen sein, als s A. Jeden-falls gelangt man zu einem Dreiecke, dessen drei Winkel, zusam-mengenommen, der Summe der drei Winkel des gegebenen Dreiecksgleich sind, dessen einer Winkel, und zwar derjenige, dessenScheitel in A liegt, nicht größer ist, als ^ A. und in welchem zweiWinkel zusammen nicht größer sind, als ä A. Verfahrt mannun mit diesem Dreiecke von Neuem, wie mir dem gegebenen, sowird man wieder zu einem Dreiecke gelangen, dessen drei Winkelzusammen so groß sind, als die Summe der drei Winkel des gegebenenDreiecks ALL, dessen einer Winkel und zwar derjenige, dessen Scheitelin A liegt, nicht größer ist, als A, und in welchem zwei Winkelzusammen nicht größer sind, als A. Man kann nun auf dieselbeWeise immer fortfahren, und folglich zuletzt zu einem Dreiecke gelan-gen, dessen drei Winkel zusammen so groß sind, als zusammen diedrei Winkel des gegebenen Dreiecks ALL, und in welchem zwei Win-

A

kcl zusammen nicht großer sind, als eine Winkelgroße—deren Klein-

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heit unbegrenzt, und deren Grenze Null ist. Schließt man nun,nach Legen dre, daß, weil, wie gezeigt, in diesem letzten Dreieckezwei Seiten sich unendlich der dritten nähern, diese zwei Seitenmit der dritten zusammenfallen, und also zusammen nur noch eineund dieselbe gerade Linie ausmachen; so folgt, daß die Summe derdrei Winkel des letzten Dreiecks, und folglich auch die der drei Winkeldes gegebenen Dreiecks ALL, gleich zwei Rechten ist.

Dieser neue Beweis Legendre's hat ganz die EuclidischeWeise; bloß der letzte Schluß, daß zwei Linien, die eine dritteschneiden, zu einer einzigen Geraden werden, wenn die Winkel, diesie mit der dritten machen, über alle Grenze hinaus abnehmen, ist,unter den gegenwärtigen Umständen, wo, wie leicht zu sehen, dieLinien unendlich lang sind, ungewöhnlich. Indessen ist der Beweisvielleicht dennoch, von allen, die sich mit den hier vorausgeschicktenDefinitionen der geraden Linie und des Winkels geben lassen, derbeste, und auch für den Unterricht der vorzüglichste, weil bei diesemBeweise am wenigsten der Zusammenhang und Fortgang des Lehr-bcgriffs gestört und unterbrochen wird. Man kann daher mitGrunde sagen, daß Legen dre der Lösung des berühmten Pro-blems: das eilste Axiom des Euclides auf Euclidische Art zu