l Buch. Priucipicn. Satz 26.

2»

rccht (Istcr Zusatz, 24ster Satz). Desgleichen ist M. auf EDsenkrecht, weil Lv mit KI«' parallel ist. Also sind M. und CD

Der Beweis des 19ten Satzes, oben im Texte, ist nun vondem vorigen, wie man sieht, ganzlich verschieden. Wir wollen bemer-ken , daß man ihn auf folgende Art noch etwas vereinfachen uno so ein-richten kann, daß dazu, außer dem titen Satze, von der Eongrucnzzweier Dreiecke mit gleichen Winkeln zwischen gleichen «Seiten, statt des2ten Satzes, von den Neben-Winkeln, und des 14ten: daß die größereSeite eines Dreiecks dem größeren Winkel gegenüber liegt, nur bloß nochder 6tc von den Scheitelwinkeln nöthig ist.

Man Halbire nämlich eine beliebige Seite LK (Fig. 3.)des gegebenen Dreiecks ML. Durch die Mitte D dieser Seite,und die gegenüber liegende Ecke ^X, ziehe man die Gerade ML, macheDL-H^M, und ziehe LL und LL. Dann sind, nach dem 6tcnSatze, die Scheitelwinkel ML—LDL und ML —ADV; also ist,nach dem 6ten Satze, weil zugleich M —DL und M^DL,/X ML — /X ML und /X -ML — XX LDL. Deshalb aber istnun, z. B. der Winkel DLL-MM, und der Winkel DLL^E.Die Summe der drei Winkel des Dreiecks ^XLL ist alsoDLL -s- DM -si L -s- DLL MD DM -j- L ss- L.-M L -j- L,und die Summe der beiden Winkel IDXL und LL^X, des DreiecksML, ist gleich dem Winkel ^X. Eben so ist die Summe der dreiWinkel des Dreiecks -ML gleich der Summe ^X-j-L-j-L der dreiWinkel des gegebenen Dreiecks, und die Summe der beiden Win-kel LM und LL^X, des Dreiecks ML, gleich dem Winkel ^X.Nun sind entweder die Winkel D^XL und D^XL einander gleich; unddann ist jeder gleich M oder es ist, wenn sie ungleich sind,einer von ihnen nothwendig Jedenfalls also giebt es

unter den beiden Winkeln DM und DM Einen, der nicht grö-ßer ist, als .^M Es sei DM dieser Winkel. In diesem Fallewiederhole man die obige Eonstruction an dem Dreiecke LM, indemman mit demselben ganz so verfährt, wie vorhin mit dem gegebe-nen Dreiecke ML. Dieses wird zwei neue Dreiecke M<L und MLLgeben, deren drei Winkel, in jedem zusammen, so groß sind, als dieSumme der Winkel von ML, und folglich so groß, als dieSumme der Winkel des gegebenen Dreiecks -ML. Auch wird esunter den beiden Winkeln L^XL und ML nothwendig Einen geben,der nicht größer ist, als D^XL, und folglich nicht größer,als /V. Die Summe der beiden Winkel bei ^X und L, derDreiecke MLL und^XLL, aber wird dem Winkel ML gleich, und folglichnicht größer sein, als 1 -X. Wäre LM der Winkel gewesen, wel-cher nicht größer ist als ^ ^X, so würde man mit dem Dreiecke ML,wie mit dem gegebenen ML, haben verfahren müssen. Dieses würdezwei neue Dreiecke M1L und MIL gegeben haben, deren Winkel,