Geometrie.

Man ziehe die Linie LsM, welche sie schneidet, senkrecht aufL1. Da AU mit LI? parallel ist, so ist Uli auch auf AU senk-

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-j- 29 — ö -^8?- 2ö

-si 2y — ö )

Nun ist die Summe der 3 Winkel, an jedem der drei Puncte II,L, I), —29. Zieht man diese 9 Winkel, die also zusammen 69ausmachen, von jenen 12 Winkeln ab, so bleiben die 3 Winkel A, Lund 1'' des Dreiecks ALL übrig, die also höchstens — 29^26 sind.Daraus folgt, daß, wenn die 3 Winkel in dem kleinen Dreiecke ALL,um ü weniger betragen als zwei Rechte, die drei Winkel in dem gcößernALL schon um das Doppelte, 2ö, von zwei Rechten verschieden sind.Wiederholte man also die Zusammensetzung, so würden die Winkel, ineinem noch größern Dreiecke, von zwei Rechten schon um 4 ö abweichenu. s. w. So klein aber auch A sein mag: so kann ein beliebiges Viel-faches desselben doch jede beliebige Größe, und also selbst 2 9 übersteigen,woraus folgen würde, daß die Summe der Winkel eines hinreichend gro-ßen Dreiecks — 9, oder selbst weniger als 9 sein könne. Da diesesunmöglich ist, so ist die Voraussetzung, daß die Winkel im Dreieckkleiner sein können, als zwei Rechte, unstatthaft.

Also könnte die Summe der drei Winkel eines Dreiecks wedergrößer, noch kleiner sein, als zwei Rechte; woraus folgen würde,daß sie zwei Rechten gleich ist. Dadurch wäre also zugleich das Eucli-dische eilfte Axiom bewiesen.

Die erste Hälfte dieses Legen Krischen Beweises, nämlich, daßdie Winkel in einem Dreiecke zusammen nicht größer sein können, alszwei Rechte, ist unstreitig vollkommen strengt, unter der Bedingung, daßman die Legendrischen Definitionen der geraden Linie, des Winkelsu. f. w. zuläßt. Diese Hälfte von dem Beweise des Axioms ist alsoHerrn Legen dre wirklich gelungen. Der andere Theil aber hat eineschwache Stelle, nämlich da, wo verlangt wird, daß durch U eine geradeLinie LI1L gezogen werden soll, die L und I? zugleich schneidet.Daß eine gerade Linie z. B. durch Ii! und 11 gezogen werden kann, leidetzwar keinen Zweifel; aber daß eine solche Linie zugleich die andereLinie AL schneiden werde, muß erst bewiesen werden, und derBeweis erfordert, wenn man auf den Grund geht, wiederum das Axiomselbst. Also ist eigentlich nichts gewonnen. Legendre erkennt auchdie Schwäche der erwähnten Stelle; denn er fügt in einer Anmerkunghinzu, man solle zum Winkel LA!? den kleinsten des DreiecksALL wählen, um die Möglichkeit, daß eine Linie, durch U, die beidenLA und LA zugleich schneiden könne, fühlbarer zu machen (atm lleronclrs Pilus sousipls In posAllilllu >;u'uiuz llgmo etc.). Allein dieFühlbarkeit ist wohl nicht hinreichend, sondern man bedarf desBeweises.