I. Buch. Principicn. Satz 26. 27

Fünf und zwanzigster Satz. Lehrsatz.

Fig. 39. Zwei Linien -VI! und ED, die mit einerdritten KI? parallel sind, sind auch mit einander pa-rallel.

nie. Man mache W--WV, VW^VeVV und VV^WV; so istdas Dreieck VW dem Dreiecke ^vv gleich (6tcr Satz). Ware nunB6V-j-6VV-j-VW>29 (9 bedeute einen rechten Winkel), so wäreL6V-ss6cvv-i-LW>.LW-j-vvl^-j- !ZVV. weil die letzten drei Win-kel zusammen gleich zwei rechten sind. Nimmt man also, auf beidenSeiten den Winkel VW, und dann den Winkel V/VV^ VW weg;so bleibt

.WV>VVV.

Da aber die Winkel ^vv und VW von gleichen Seiten vv—Lv und6V^W eingeschlossen sind, so folgt daraus, daß -

LV<6V

sein müßte (IVter Satz). Man mache, auf dieselbe Weise, das Dreieck vv(zdem Dreiecke vvv oder ^LV gleich ; so wird eben so gezeigt, daß VU<Woder<6.V sein müßte, und zwar ist zugleich vv — vv, weil /Xv vv ^/^.VW. Eben das läßt sich von W, VU zeigen; so weit man will.Der Unterschied von Lv und ^rv mag nun so klein sein, als man will;so kann doch ein beliebiges Vielfache desselben, welches der Unterschiedder ganzen Linie VVI'IIK von der Linie 61 sein würde, jede Große errei-chen , und folglich großer werden, als die Summe der beiden Linien amEnde, 6 V und vi.; folglich würde, unter der Voraussetzung daß -V -j-v-j-v>29 sein kann, worauf alles dieses beruht, die gebrochene Linie61 Vit kürzer sein können, als die gerade 6l. Da dieses unmöglich ist(oteErkl.); so ist die Voraussetzung unstatthaft. Folglich kann dieSumme der drei Winkel eines Dreiecks nicht größer sein, alszwei rechte.

Um zu zeigen, daß auch die Summe der drei Winkel eines Drei-e cks nicht kleiner sein kann, als zwei rechte, lege man, sagt Legendre,an die, dem kleinsten Winkel deines gegebenen Dreiecks 6VV (Fig. 2),gegenüberliegende Seite Lv ein Dreieck VVV, welches 6VV gleich ist,auf die Weise, daß manvvv —LV6 und VW — W6 macht; undziehe durch v eine beliebige gerade Linie, die die verlängerten 6V und6V, z.B. in v und U, schneidet. Wäre nun die Summe der drei Win-kel in dem Dreiecke 6V0 kleiner, als zwei Rechte, und zwar —2? — ö,so wäre auch die Summe der Winkel von VVO —29 — ö, weil dieDreiecke einander gleich sind. Da nun die Summe der drei Winkel injedem der beiden übrigen Dreiecke DLL und I'VO, wie vorhin bewiesen,wenigstens nicht größer sein kann, als zwei Rechte; so ist die Summeder 12 Winkel, in allen vier Dreiecken der Figur, höchstens