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Geometrie.

und EO?, oder und OOI?, äußere WechselwinkelHernes-ex lern es). Noch dieser Bestimmung kann man fol-gende Satze als schon bewiesen betrachten:

Erstli ch. Innere Gegenwinkel betragen zusammen zwei rechte.Zweitens. Innere und äußere Wcchselwinkcl, desgleichenNeigungswinkel, sind einander gleich.

Umgekehrt: wenn, im zweiten Falle, zwei gleichnamige Win-kel gleich sind; so kann man schließen, daß die Linien, auf welchesie sich beziehen, parallel sind. Es sei z. B. — (!l)I); soist, weil E0E-f-EOO gleich zwei rechten ist, auch L.EE» Z-EOLgleich zwei rechten; folglich sind die Linien und E0 parallel(2lstcr Satz)*).

*) Die obigen Satze, vom Igten an, enthalten die Paral-lelen -Theorie, und namentlich ist der obige 23ste Satz wört-lich das berühmte Euclidische llte Axiom (Grundsatz ohneBeweis). Dieses Axiom ist bekanntlich sehr oft in einen Lehrsatz zuverwandeln, das heißt zu beweisen versucht worden; aber alle solcheVersuche, sobald man den Beweis auf Euclidische Art, durch ge-schlossene Figuren, hat geben wollen, sind vergeblich gewesen. Laßtman, wie hier, den Satz, daß die Summe der drei Winkel in jedemDreiecke zwei Rechten gleich ist, vorhergehen; so kann, wie man ausdem Obigen sieht (der Beweis des 23sten Satzes bedarf des IgtenSatzes), das Axiom bewiesen werden. Man kann es also auch, stattauf das Axiom, aus den Igten Satz ankommen lassen.

Legendre hat hier einen Beweis dieses Satzes aufgestellt; infrüheren Ausgaben seiner Geometrie einen andern, durch welchen er zuzeigen gesucht hat, daß die Summe der drei Winkel eines Dreiecksweder größer noch kleiner sein kann, als zwei Rechte. Obgleichdieser altere Beweis nicht völlig genügend ist, weshalb ihn auch der Ver-fasser wieder ausgegeben hat; so ist es dennoch der Mühe werth, den-selben kennen zu lernen, eines Theils, weil die Ideen, wie man es vonLegendre erwarten darf, ungemein scharfsinnig sind; andern Theils, weildem Verfasser sein Vorhaben, gleichsam zur Hälfte, wirklich gelungenist. Ich will daher diesen früheren Beweis des obigen Igten Satzes,nach der Zten Ausgabe der Legen drischen Geometrie, hier einschalten.Der Verfasserzeigt zuerst, wie folgt, daß die Summe der drei Winkeleines Dreiecks nicht größer fein kann als zwei Rechte.

Fig. 1 *). sei das gegebene Dreieck, und eine gerade Li-

*) Die in den Anmerkungen des llcbersctzcrs angegebene» Figuren befin-den sich sammtlich auf der letzten, der Zusatztafcl, welches derselbe hiermitbemerkt.