Geometrie.

DreieckeMM, der Summe der beiden inncrn, entgegengesetztenWinkel AHM und AM? gleich (19ter Satz. 6tcr Zusatz). Diesebeiden Winkel aber sind einander gleich, weil sie gleichen SeitenAM und MI gegenüber liegen. Also ist der Winkel MI?, oderder ihm gleiche Winkel AI?L, das Doppelte von MIM. Mit-hin theilt IM den Winkel LAI? in zwei gleiche Thcilc, und be-gegnet der Linie AV in einem Puncte IV, dessen EntfernungAM von AI gleich MI ist.

Auf gleiche Weise folgt, daß wenn man IV? —IM macht,und ?? zieht, diese Linie?? den Winkel LIM halbsten wird,so daß LIM der vierte Thcil von L?AI ist.

Man kann nun aus diese Weise die Theilung des WinkelsL?AI fortsetzen, und die Halste, das Viertel, den achten Theildesselben u. s. w. nehmen. Die Theilungs-Linien werden derLinie AR in Punctcn begegnen, welche sich immer weiter vonAI entfernen, aber leicht finden lassen, weil AM—MI, AM—IM,?t)—?? eto. Man sieht auch, daß jede Entfernung dieser Durch-schnitts-Puncte von dem festen Puncte ?, nicht ganz doppelt sogroß ist, als die Entfernung des vorigen Durchschnitts-Punctes;denn IM z. B. ist kleiner als MI-st AM oder 2 MI; I ? ist,auf ahnliche Weise, kleiner als 2 IM; ?() ist kleiner als 2 ??u. s. w.

Wenn man nun aber die Halbirung des Winkels L?N aufdiese Weise fortsetzt, so wird man bald zu einem Winkel LIMgelangen, der kleiner ist, als der gegebene Winkel L?O, und IMwird demnach, verlängert, AM in einem bestimmten Puncte schnei-den. Um so mehr also muß die Linie ?L, welche innerhalb desWinkels ?IM liegt, der Linie AL begegnen.

Man setze zweitens, die Summe der beiden inneren Win-kel AM? und LIM sei größer, als zwei Rechte. Verlängertman AM nach L, und L? nach I) zu; so wird die Summe dervier Winkel A??, L??, LIM und ??O gleich vier rechten Win-keln sein. Zieht man also von dieser Summe die Summe A??-st LIM ab, welche nach der Voraussetzung großer als zwei Rechteist, so bleibt für die Summe IM?-st lML weniger als zweirechte Winkel übrig. Folglich müssen sich, dem ersten Falle ge-mäß, die Linien?IZ und IM», genugsam verlängert, wiederumnothwcndig begegnen.