I. Buch. Principicn. Satz 19. Ii)

tlL'd' durch II' und d'; so behaupte ich, daß d' — II ss-dund V B II ^ iß, woraus ^.' ss- II' ss- d' ----- ^ -ss II ss- d

folgt; das heißt: die Summe der drei Winkel ist in beidenDreiecken die nämliche.

Um Solches zu beweisen, mache man AI5 —^1, und ziehe dB.Alsdann ist das Dreieck d'^X dem Dreiecke II^I gleich. Dennin den beiden Dreiecken liegt der Winkel V, welcher ihnen beidengemein ist, zwischen gleichen Seiten, weil ^.d' —und ^Iv—^1. Es ist also auch die dritte Seite d'X der dritten Seite IIIgleich, und der Winkel ^d'X —Vlld, der Winkel ^Xd' — ^III.

Aber das Dreieck Il'd'X ist ferner dem Dreiecke ^dl gleich;denn die Summe der beiden anliegenden Winkel VIvd' und L'Xd'ist gleich zwei Rechten (2ter Satz), eben wie die Summe der beidenWinkel ^IL und äld, so daß ^Xd'-s-II'X'd'----äIII-j-^Id.Ziehet man hicvon ^Xd' — ^lö ab, so bleibt L'Xd' — ^1d.Diese gleichen Winkel, in den beiden Dreiecken Il'Xd' und.-Ild,liegen aber zwischen gleichen Seiten, nämlich d'X — III — dlund XL' — AX — ^VI, weil AL' — 2 .-II — 2 ^X vorausgesetztwurde. Also sind die beiden Dreiecke L'd'X und ^dl gleich (6terSatz). Folglich ist die Seite d'L'----4d, der Winkel L'd'X----AdL, und der Winkel XL'd' ^ d^I.

Es folgt daraus, erstlich, daß der durch d' bezeichneteWinkel ^d'L' aus zwei, den Winkeln L und d des Dreiecks ^Ldgleichen Winkeln zusammengesetzt, und daß folglich d' —L-j-dist; zweitens, daß der Winkel V, des Dreiecks LLd, aus demWinkel V oder d'^eL', welcher dem Dreiecke ^L'd' angehört,und aus dem, dem Winkel IV des nämlichen Dreiecks gleichenWinkelten zusammengesetzt ist; was —^.'-ssL' giebt. Folg-lich ist ch- II ch" d B X' ss- d'.

Da nun aber, nach der Voraussetzung, ^d-<VL, und folg-lich dB' -< ^.d' ist; so folgt, daß in dem Dreiecke ^cd'L' derWinkel.V kleiner ist, als der Winkel II'; und da nun die Summedieser beiden Winkel A' und II' gleich dem Winkel V des gegebe-nen Dreiecks ist, so folgt, daß der Winkel ^ L, ist.

Wendet man ferner die nämliche Construction auf das DreieckAL'd' an, so daß ein drittes Dreieck ^L"d" entsteht, dessen Win-kel wir durch II", d" bezeichnen wollen; so wird auf gleiche

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