L I VIS ï> R E M X E R. 9

( p Q y 2 M P. P Q (12. liv. 2). Maison a zM P = F p ( i 4 )• Donc, etc.

17. Lemme. On aura donc (( 5 ) 2 ={ApY+- (p Q Y — P p . p Q.

Démonstration. Car on a (A QY ~{-dpY—H ( p QY — 2 p JM .p Q (i 3 . liv. 2). Mais ona 2 p M—p P ( 14). Donc, etc.

18. Corollaire i. er Puisque pQz=pP-$-P Qj on aura : (pQ Y = PP-pQ-*~ P Q - p Q( 2. liv. 2 ) : d’où, en soustrayant pP. pQ ,on a : {p QY —p P.p Q — P Q • p Q> etsubstituant cette valeur dans celle de (A Q Y(17 ) , on aura :

(A QY = pY+pQ • PQ •

D’où l’on tire , en soustrayant (A pY de ^artet d’autre : (A Q ) 2 —(A pY—p Q-P Q-

Donc ( en effectuant la multiplication deA Q -\-Ap par A Q — -dp) on trouvera :{A Q+-A P ){A Q — Ap)=(A Q Y~^pY’>et par conséquent : (A Q-+-A p) (.A Q — Ap)= p Q . P Q : d’où ( par la i6. e propos, duliv. 6 ) on déduit la proportion

p q: a Q + Ap:: a q ~a p : pq:

où substituant de même AP au lieu de Ap,et transposant les extrêmes :

P Q\A Q -t- A P \\A Q —A P:P Q.

De ces deux proportions , on déduit ex-pressément ce' fameux théorème :