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Geometrische Formenlehre und Geometrie.

fammten Dreiecks? weis von den Theilen der Grundlinien desselben? was also vonallen 3 Seiten der Thcildreiecke? welchen Schluß macht ihr dann auf den Flächen-inhalt der Dreiecke? was schließt ihr aus der Congrucnz der Dreiecke auf die Winkelderselben? welche sind gleich? was folgt daraus für die Verbindungslinie von Spitzeund Mittelpunct der Grundlinie? Sprecht alle aufgefundenen Gesetze aus! — OhneZweifel beschäftigt der Lehrer dabei seine Schüler ohne Unterlaß denkend. Das wirdman aber einräumen müßen: Sie vertrauten sich ganz der Führung des Lehrers anund wurden nicht sclbstthätig. Selten vermögen sie deshalb die durchlaufene Schluß-reihe zu wiederholen. Die katechetische Unterbrechung hat die Schlußfolge nicht alszusammengehöriges Ganzes wirken lassen, und darum dieser Mangel. Außerdemhäufen sich die Folgerungen verwirrend, und das Resultat des, wie es scheint, tadel-losen Verfahrens befriedigt doch nicht.

ä. Erler a. a. O. leitet den Satz von der Summe der Dreieckswinkel aus derDrehung einer Linie ab, die mit noch einer andern von einer dritten geschnitten wird.Die Bewegung um ihren Durchschnittspunct fesselt die Aufmerksamkeit; der Schülerverfolgt gespannt alles Werdende und wird leicht finden, daß die Sätze von denParallelen zum synthetischen Beweise zu verwerthen sein werden. Wo es irgend geht,wird diesem genetischen Verfahren, das bei der Ableitung von Lehrsätzen nochgrößeren Schwierigkeiten begegnet, als bei der Entwicklung von Begriffen, der Vor-rang vor den vorgenannten Methoden cingeräumt werden müßen. Fundstellen für dieUntersuchung, ob bei dem betreffenden Satze noch keine Genetik aufgedeckt sei, nanntenwir schon oben.

s. Der Lehrer bezeichnet die Mittel, durch welche der Beweis für eine Wahrheitgefunden werden kann, indem er z. B. bestimmt, es solle der Beweis, daß der Tan-gentialwinkel dem Peripheriewinkel gleich ist, der auf der Sehne steht, auf das Ver-

hältnis von Centri- und Peripheriewinkel gegründet werden. Damit bezeichnet erhinreichend die erforderliche Hülfslinie, daß sich die verschiedenen Begabungen derSchüler zum Suchen der Schlußreihe angeregt fühlen. Er läßt sie, wenn sie siegefunden zu haben glauben, zahlreich zu Worte kommen, zeigt Abwege auf, in die siesich verirrt haben, merzt Umwege aus und stellt schließlich den kürzesten Weg fest, dereinzuschlagen gewesen wäre. Dieser wird von allen Schülern verstanden, weil sichalle ums Finden bemüht hatten. Diese heuristische Methode erhöht mit jederUcbung die Kraft des Schülers und macht das klar Erkannte ohne Zweifel am bestenzum Eigenthume desselben. Die Volksschule hat es gewiß am meisten zu bedauern,

daß ihre Natur es ihr verbietet, ausgedehnten Gebrauch davon zu machen. Die

rationelle Beweisführung kann sie ja überhaupt nicht oft wählen. Aber desto geflissent-licher wird sie nach dieser Methode verfahren, sobald ein ausgedehnterer UnterrichtS-gang Anwendung der letzteren gestattet.

Auf den indirecten, apagogischen Beweis aus der (oft zwiefachen) gegentheiligenAnnahme rathen die meisten Pädagogen (ck. Diesterweg im Commcntar zur elemen-taren Geometrie, und auch Sondhaus im neubearbeiteten Wegweiser) der Volksschulezu verzichten, weil er zu künstlich sei, in die innere Wesenheit eines Satzes keine Ein-sicht verschaffe und für Kinder keine überzeugende Kraft besitze.

Mit den Aufgaben halte sich der Lehrer namentlich auf concretem Boden. Esgeschieht am leichtesten auf dem Gebiete der Berechnungen, zu welchen er die Regelnund Gesetze so zu geben hat, daß der Schüler im Stande ist, sie immer wieder ausder Natur der zu berechnenden Raumgröße herzustellen. Er macht in Zahlenbeispielen

das Gesetz anschaulich, läßt cs in Worten als allgemein gültig aussprechen. Auf den

höheren Stufen braucht er nicht Anstand zu nehmen, die Formel auch in mathe-matischer Signatur zu geben, z. B. Die Einübung giebt Gelegenheit,

die praktische Verwendbarkeit in der mannigfaltigsten Weise zu zeigen. Erweise, stlauten seine Aufgaben z. B., durch Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ausallen seinen Höhen, daß das Gesetz darüber richtig ist! — Summire den Flächen-inhalt aller Dreiecke, in welche ein Vieleck zerlegt ist! Wie groß ist das letztere? —Berechne die Zimmerfußbodenfläche, die Größe des Beetes, den Raum, den ein Kasten,ein Globus, ein Stamm einnimmt. — Die Frage: wie hoch der Thurm ist, zudessen Knopfaufzug man eines 75 Meter langen Seiles bedürfte, wenn man 50 Meter