VII. Buch. Die Kugel. Satz 2. 3.

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'Durch den Punct »I ziehe man die Bogen größter Kreise IVIetund MI, und mache II IX -----II»!.

Dem vorigen Lehrsätze zufolge, ist der Bogen -»XU kürzer,als »Hlsi-»!ll; zieht man IIIX —L»I auf der einen und derandern Seite ab, so bleibt c»IX<s^ZI. Aber die Entfernungzwischen II und »I, sie mag in dem Bogen MI selbst liegen,»der eine beliebige andere Linie sein, ist der Entfernung zwi-schen II und IX gleich; denn, wenn man sich die Ebene desgrößten Kreises II»! um den durch II gehenden Durchmesserdrehen laßt, so kann man den Punct N nach dem Puncte IXführen; und dann fallt die kürzeste Linie zwischen II und II,welche sie auch sein mag, in diejenige zwischen IX und II; folg-lich haben die beiden Wege von V nach II, der eine durch II,der andere durch IX, einen gleichen Theil, zwischen II und II,und IX und II. Nun ist aber der erste, ganze Weg, nach derVoraussetzung, der kürzere; also wäre die Linie von V nach IVIkürzer, als die Linie von V nach IX, welches ungereimt ist, weilder Bogen c»r»I langer ist, als der Bogen M; folglich kannkein Punct der kürzesten Linie zwischen V und II außerhalb desBogens ctiXII liegen; mithin ist dieser Bogen selbst die kürzesteLinie zwischen seinen Endpuncten^).

*) Dieser Beweis, wie er hier ausgedrückt ist, scheint nichtganz strenge zu sein, weil zuletzt nur von den Kreis bogen »»Iund »X die Rede ist, und es also wohl noch zwischen » und »Ieinen andern Weg geben könnte, welcher kürzer wäre, als der Bo-gen »X. Vielleicht ist der Beweis, wie folgt, zu verstehen. Zuerstwird bemerkt, daß, welches auch der Weg von II nach »I sein mag,immer ein gleicher Weg von II nach IX auf der Kugelflächc gezo-gen werden kann, das heißt, ein Weg, der gegen den Bogen IIXeben so liegt, wie der Weg zwischen II und »I gegen den BogenIUI; daß also die Wege von II nach e», durch »1 und durch IX,welche sie auch sein mögen, einen gleichen Theil von II nach »1,und von II nach X haben. Nun nehme man auf dem Bogenctll, von ct. aus, einen, dem Bogen »öl gleichen, Bogen an - sowird sein anderer Endpunct über X hinaus, zwischen X und II fal-len, weil der Bogen ^»1 größer ist, als der Bogen ctX. Welchesalso auch der Weg von V nach »I sein mag: immer wird derselbe,wenn man ihn, mit der Ebene des Bogens W, in die Ebene desBogens c»X dreht, über X hinausreichen; also reicht man mit dem