Geometrie.

Zwölfter Satz. Lehrsatz.

Fig. 139. Die zwischen zwei parallelen EbenenA1I>I und ?() enthaltenen Thcilc paralleler Linien?D und ?D sind gleich lang.

Man lege eine Ebene ?DD? durch die parallelen Linien?D und ?D. Sic wird die parallelen Ebenen in ?? und (IIIschneiden. Die Durchschnitte 15? und (ZU sind mit einanderparallel (10r S.); eben so ?D und ?1I; folglich ist die FigurI5DII? ein Parallelogramm; also ist?D—?I1.

Zusatz. Daraus folgt, daß zwei parallele Ebenenüberall gleich weit von einander entfernt sind; denn,wenn ?D und ?1I auf den beiden Ebenen AM und ?(> senk-recht sind, so sind sie mit einander parallel (7r S.), und folg-lich gleich.

Dreizehnter Satz. Lehrsatz.

Fig. 190. Wenn die Schenkel zweier Winkel DA?und DD?, die nicht in einer und derselben Ebeneliegen, nach einer Seite hin parallel sind; so sinddie Winkel gleich und ihre Ebenen parallel.

Man mache -1(5 — III), ,115 — II?, und ziehe (515, DI',AD, (5D, ??. Da AD und DD gleich und parallel sind, soist die Figur ADDD ein Parallelogramm (1s B. 28r S.).Also sind (5D und AD gleich und parallel. Aus gleichemGrunde sind 15? und AD gleich und parallel; also sind auchDD und 15? gleich und parallel, und die Figur <5??D ist einParallelogramm; folglich sind die Seiten <5? und D? gleich;mithin sind die Dreiecke DA? und DD? unter einander gleich-seitig; folglich ist der Winkel DA? —DD?.

Zweitens behaupte ich, daß die Ebenen AD? und DD?parallel sind; denn, gesetzt, die mit DD? parallele Ebene, durchden Punct A gelegt, schnitte die Linien DD und ?? in andernPuncten, als D und ?, zum Beispiel, in D und II; so wür-den, nach dem zwölften Satze, die drei Linien AD, DD und?I1 gleich lang sein. Aber die drei Linien AD, DD, ?? sindgleich lang; also würde DD —DD und ?II—?? sein, welchesungereimt ist; folglich sind die Ebenen AD? und DD? parallel.