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Geometrie.

Zusatz. Die Umfange regelmäßiger Vielecke, von gleichvielen Seiten, verhalten sich, wie ihre ahnlich liegenden Seiten;und ihre Flachen, wie die Quadrate der Seiten (3s B.27r S.).

Anmerkung. Der Winkel eines regelmäßigen Vieleckshangt von der Zahl der Seiten ab, wie bei allen gleichwinkligenFiguren (1s B. 28r S.).

Zweiter Satz. Lehrsatz.

Jedes regelmäßige Vieleck kann in und umeinen Kreis beschrieben werden.

Fig. 166. ALLOL ew. sei das Vieleck. Man lege einenKreisumfang durch die drei Puncte A, L und L; sein Mittel-punkt sei 0. Man ziehe 0?, aus 0, auf die Mitte der SeiteLO senkrecht, desgleichen AO und Ol).

Die Vierecke OLLI) und OLLA decken sich; denn sie habendie Seite OL gemein, und die Winkel OLL und OLL sindgleich, weil sie rechte sind; folglich fallt die Seite LL auf dieihr gleiche LL, und der Punct 0 in L. Ferner ist, vermögeder Eigenschaften des Vielecks, der WinkelLLV^LLA; folg-lich erhält OD die Richtung LA, und, da LI) —LA, fälltder Punct v in A; mirhin fallen die beiden Vierecke ganz ineinander. Der Abstand OD ist also gleich AO; folglich wirdder Kreisumfang, welcher durch die drei Puncte A, L, L geht,auch durch den Punct v gehen. Eben so läßt sich beweisen,daß der KreiSumfang, welcher durch die drei Puncte L, L, vgeht, auch den folgenden L trifft, u. s. w.; folglich geht derKreisumfang, in welchem die Puncte A, L, L liegen, durchalle Winkelscheitcl des Vielecks, und folglich liegt das Vieleckim Kreise.

Zweitens sind alle Seiten, AL, LL, OD u. f. w. gleicheSehnen des Kreises; also sind sie gleich weit vom Mittelpunkteentfernt (2s B. 8r S.). Beschreibt man daher, aus O, mitdem Halbmesser OL, einen Kreis; so wird derselbe die SeiteLL und alle übrigen Seiten des Vielecks, jede in ihrer Mitte,berühren; folglich ist dieser Kreis in das Vieleck eingeschrieben,oder das Vieleck liegt um den Kreis.

I. Anmerkung. Der gemeinschaftliche Mittclpunct 0