Aufgaben zum 3. Buche. Aufgabe 18. 1V.

Linien vermeiden, und immerfort nur auf Linien vpcrircn, welchedie nämliche Größe behalten.

Da nämlich der Winkel ein rechter ist, so ist eineTangente und ^ eine Secantc, aus einem und demselbenPuuctc, so, daß (3vr Satz.); folglich kann

man, bei der folgenden Operation, durch welche ^1) mit LVverglichen werden soll, statt des Verhältnisses das-

jenige ^ setzen. Aber , oder die ihr gleiche (11),ist zweimal in enthalten, nebst einem Neste Q). Alsoist das Resultat der zweiten Operation der Quotient 2, mitdem Reste welcher nun wieder mit LV verglichen wer-den soll.

Die dritte Operation, durch welche L.V mit verglichenwerden soll, rcducirt sich wieder auf die Vcrgleichung vonoder der ihr gleichen ED, mit Man erhalt folglich aber-mals 2 zum Quotienten, und -Q) zum Reste; u. s. w. Hier-aus folgt, daß die Operation kein Ende hat, und daß es daherkein gemeinschaftliches Maß für Diagonal und Seite einesQuadrats giebt; wie es auch die Arithmetik lehrt (weil sichnämlich die beiden Linien wie ^2:1 verhalten). Durch die geo-metrische Auflösung wird dieser Umstand noch deutlicher.

Anmerkung. Es ist also nicht möglich, in Zahlen dasgenaue Verhältniß der Diagonal eines Quadrats zu seiner Seiteanzugeben; aber man kann sich demselben nähern, so weit manwill, und zwar mittels eines, das gesuchte Verhältniß ausdrü-ckenden, Kettenbruchs. Die erste Operation gab 1 zum Quotien-ten; die zweite und alle übrigen, ohne Ende, gaben 2. Also istdieser Kettcnbruch

1 -ss 1

2-ss 1

2 -j- 1 u. s. w.

bis ins Unendliche.

Berechnet man den Bruch z. B. bis zum vierten Gliedc,dieses einschließlich; so findet man I^Z oder ß-s. Also ist