14 Géométrie Du Compas.

Démonstration. Soit divisé AB en deuxparties égales au point m par là perpendicu-laire M m \ 10. il. liv. 1. ) j et sur la. droiteB A prolongée, soit pris A nz=.B m , on aura77 in — BA—l\l N. On aura donc le parallé-logramme JS'INn 7n ( 33 . liv. i. ) , et l’angleN 7i B sera droit (27. liv. 1). D’où ( B N ) a2=.(A B) 2 -t- ( A N) 2 -+- %A B. A n (12. liv. 2).Mais A. n = j A B. Donc (B N) 2 =■ (A N ) a■+■2. (A B) 2 =.(A N) 2 -h (A B) 2 -+- (MM) 2 .

26) Si dans un triangle quelconque BPE,[ fi g. 8 ] on coupe en deux parties égales aupoint A la base B E, et que de l’angle opposéP, on mène la droite PA , la somme desquarrés des côtés B P et PE sera égale à lasomme des quarrés égaux des deux segmens,en y ajoutant le double quarré de la droiteAP.

Démonstration. En effet, si on abaisse laperpendiculaire PR sur la base B E, 011 aura(BP) 2 =(BA) 2 -4- (A Py -t-2 B A . AB ( 12.liv. 2). On aura donc (PE) 2 =(AE) 2 -i-(AP) 2—2 A E . A B ( i 3 . liv. 2 ). Donc après avoirforme la somme des valeurs des deux quarrés(B P) 2 et (PE) 2 , et de plus B A étant égal àAE, on aura (B P ) 2 -+- (P E) 2 = (B A) 2 -h(A E) 2 -t-2. (A P) 2 z=a(A B) 2 2 (A P) 2 .. ■