Muſica

tiens ſuperuadit: quam. xlviii. ⁊. liii. numeri quos eadem. que tamen in eis ſupercreuit: quinarii differentia permenſa eſt. Maiores vero ⁊ minores proportiones hoc modo intelliguntur. Dimidia pars maior ēqͣꝫ tertia. Tertia pars eſt maior: quam quarta. Quata pars maior eſt: quam quinta. ac deinceps eodē modo. Unde ſit vt ſeſqualtera proportio maior ſit ſeſquitertia. ⁊ ſeſquitertia ſeſquiquartam vincat. Atqꝫ ideꝫin ceteris. hinc euenit vt in numeris maioribus mīor⁊ in minoribus maior ſemper videatur proportio ſuperparticularium numerorum. Quod apparet in numero naturali: diſponatur enim numerus naturalis.i. ii. iii. iiii. Binarius igitur ad vnitatem duplus eſt.Ternarius ad binarium ſeſqualter eſt. Quaternariꝰvero ad ternarium ſeſquitertius. Maiores vero ſuntnumeri tres. ⁊ iiii. Minores binarius ⁊ vnitas: in maioribus igitur minor: ⁊ in minobus maior proportiocontinetur: hinc apparet ꝙ ſi aliquibus numeris proportionem continentibus ſuperparticularem: equapluralitas addatur. maiorem eſſe proportionem anteeque pluralitatis augmentum: quam poſtea quaꝫ eispluralitas equa ſit addita.¶ Que ex multiplicibus ⁊ ſuper particularibus multiplicitates fiant.Capitulum. x.Llud etiam premittendum videtur. qd̓ paulo poſt demonſtrabitur. Si multiplex interuallum binario fuerit multiplicatū. id etiāiibꝙ ex illa multiplicatiōe naſcetur: multiplexieſſe: ꝙ ſi id quod ex tali multiplicatione ꝓcreatum ſit non fuerit multiplex: tūc illud non eē multiplex. quod binario fuerit multiplicatum. Item ſi ſuperparticularis proportio binario multiplicetur: idꝙ ſit neqꝫ ſuper particulare eſſe: neqꝫ multiplex: ꝙ ſiid quod ex tali multiplicatione naſcetur: neqꝫ multiplex neqꝫ ſuperparticulare eſt: tunc illud quod binario multiplicatum eſt: vel ſuper particularis vel alterius generis eſt: non vero multiplicis.¶ Qui ſuꝑparticulares quos multiplices efficiant.Capitulum. xiIs illud addenduꝫ eſt duos primos ſuꝑparticulares primam efficere multiplicem proportionem. vt ſi ſeſqualter ⁊ ſeſquitertiꝰ cōIFiungantur duplicem creant. Sint enim numeri. ii. iii. iiii. iii. ad. ii. ſeſqualter eſt. iiii. adiii. ſeſquitertius quatuor ad duo duplus. Rurſus primus multiplex primo additus ſuperparticulari ſecundum multiplicem creat. Sint enim numeri. ii. iiii. vi.iiii. namqꝫ ad. ii. duplex eſt. primus ſcꝫ multiplex. vi.ad. iiii. ſeſqualter. qui eſt primꝰ ſuperparticularis. vi.ad duo triplus. qui ſecunduſ eſt multiplex. ꝙ ſi triplūſeſquitertio addas: quadruplus efficitur. Atqꝫ inhunc modum iunctis proportionibus multipliciuꝫ acſuꝑparticularium: in infinitum multiplices ꝓcreant̉.De arithmetica geometrica armōica medietate. c. xii.Uoniam vero de ꝓportionibus que erāt interim tractanda prediximus: nunc de medietatibus eſt dicēdum. Proportio enim eſt duoruꝫterminorum ad ſe quedam comparatio: terminos ātvoco numerorum ſummas: Proportionalitas eſt eqͣrum proportionum collectio. Proportionalitas veroin tribus terminis minima conſtat. Conſtat autē plerumqꝫ in pluribus. vt in quatuor vel in ſex terminisCum enim primus ad ſecundum terminus eādem retinet proportionē: quam ſecundus ad tertium: dicit̉

hec proportionalitas. Eſtqꝫ inter tres terminos medius. qui ſecundus eſt. has igitur proportiones medittermini coniungentis: trina partitio eſt. Aut enim eqͣeſt differentia minoris termini ad medium: ⁊ mediab maximum Sed non equa proportio vt in his numeris. i. ii. iii. inter vnum quippe ac duo ⁊ inter duo⁊ tres tantum vnitas differentiam tenet. Non eſt ātequa proportio. Duo quippe ad vnum dupli ſunt. ternarius ad duo ſeſqualter. Aut ē eqͣ proportio in vtriſqꝫ: non vero equalibus differentiis conſtituta. vt inhis numeris. .i. ii. iiii. Nam duo ad vnuꝫ ita ſūt duplquemadmodum quaternarius ad binarium. Sed inter quaternarium binariumqꝫ binarius: inter binarium atqꝫ vnitatem vnitas differentiaꝫ facit. Eſt vero tertium medietatis genus quod neqꝫ eiſdem/ proportionibus neqꝫ eiſdem differentijs conſtat. Sedquemadmodum ſe habet maximus terminus ad minimum: ita ſe ſe habet maiorum terminorum differentia ad minorum differentiam terminorum vt inhis numeris. iii. iiii. vi. Nam ſex. ad. iii. dupluseſt. inter ſex vero. ⁊ .iiii. binarius eſt. Inter. iiii.vero ac. iii. vnitas. Sed binarius cōparatuſ ad vnitatem: rurſus duplus eſt: ergo vt eſt maximus terminꝰin numeris ad minimum ita maiorum differentia adminorum differentiam terminorum. Uocatur igiturilla medietas: in qua eque ſunt differentie: arithmetica. Illa vero in qua eque proportiones: geometrica.Illa autem quam tertiam deſcripſimus armonica.Quarum hec ſubiciamus exempla¶ Arithmetica Geometrica Armonicaii iii l II IIiiii viſeque or̄ie eque ꝓportōes diuerſe dr̄ie: ⁊ ꝓpor.¶ Non v̓o ignoramus alias quoqꝫ eſſe proportionummedietates: quas quidem in arithmetica diximus. ſꝫad preſentem tractatum he ſunt interim neceſſarie.Sed īter has tres medietates proportionalitas ꝗdeꝫproprie. ⁊ maxime geometrica nuncupat̉ iccirco qm̄equis proportionibus tota contexitur. Sed tn̄ eodemvtemur promiſcue vocabulo proportiōalitateſ etiā ce¶ De continuis medietatibus ⁊ diſiunctis. ca. xiii.teras nuncupantes.Ed in his alia continua eſt proportionalitas. Alia diſiuncta. Continua quidem vt ſuperius diſpoſuimus. Unusenim idemqꝫ numerus medius: nuncquidem maiori. Supponitur: nunc ꝙdem minori preponitur. Quotienſ vero duo ſunt medii tunc diſiuncta proportionalitas nūcupatur: vt in geometrica hoc modo. i. ii. iii. vi. Namvt eſt binarius ad vnitatem. ita ſenarius ad ternariū⁊ vocatur hec diſiuncta proportionalitas. vnde intelligi poteſt continuam quidem proportionalitatem.In tribꝰ ⁊ minimis terminis inueniri. Diſiuncta v̓oin. iiii. pōt autem in. iiii. ⁊ in pluribus continua eſſeproportionalitas. ſiquidem hoc modo ſit. i. ii. iiii. viii.xvi. Sed hic non erunt duo proportiones ſed plures.ſemperqꝫ vna minus: quā ſint termini conſtituti.¶ Cur ita appellate ſint digeſte ſuperius medietates.Capitulum. xiiii.Ccirco autem vna eorum medietas aritthmetica nuncupatur: quod inter terminoſSecundum numerum equa eſt differentiaIGeometrica vero ſecunda dicitur: quod ſimilis eſt qualitas proportionis. Armonicaa ¶3n