Arichmetica
tur oppoſite. Eſt autem quinta medietas: quotiensin tribus terminis quemadmodum eſt medius terminus ad minorem: terminum: ita eorum differētia addifferentiam medii atqꝫ maioris. Nam in hac diſpoſitione. 2. 4. §. quaternarius ad binarium duplus ē.ſed inter quaternarium ⁊ binarium duo ſunt: interquaternarium vero ⁊ maiorem terminum ideſt quinqꝫ .1. ⁊ duo ad vnum dupli ſunt. Contrarium autemgeometrice medietati in hac proportione eſt: quodin illa quemadmodum maior terminus ad minoremeſſet: ſic maiorum differentia ad differentiam minorum. hec vero contraria quemadmodum minores adſe termini ſunt: ſic minorum differentia terminorumad maiorum differentiam comparatur. Eſt autem ꝓprium in hac quoqꝫ diſpoſitione quod illud quod continetur ſub maiore termino ⁊ medietate duplum eſteo quod ſub vtriſqꝫ extremitatibus continetur. Namquinquies quattuor ſunt. 20. quinquies vero. 2. ſunt.io. ⁊. 20. denari duplus eſt. Sexta vero medietas eſtquando tribus terminis conſtitutis quemadmodumeſt maior terminus ad medium: ſic minoruꝫ terminorum differētia maximorū. In diſpoſitione enim queeſt. 1. 4. 6. maximus teminus ad medium ſeſqualtereſt. differentia vero minorum ideſt vnius ⁊ .4. ternarius eſt: maiorum vero ideſt quaternarii ⁊ ſenarii binarius. Ternariꝰ auteꝫ binario comparatus ſeſqual̓teram habitudinem proportionis efficiet. Eodem autem modo hec quoqꝫ medietas geometrice contrariaeſt quemadmodum ⁊ quinta: propter proportioneꝫdifferentiarum a minoribus ad maiores terminosconuerſam.¶ De quatuor medietatibus quas poſteri ad implēdūdenarium limitem adiecerunt.¶ Capitulum. lii.T he quidem ſunt ſex medietates quarumtres a pythagora vſqꝫ ad platonē ariſtotelemqꝫ manſerunt. Poſt vero qui inſecutiſunt has tres alias de quibus ſupra diſſeruimus ſuis commentariis addidere. Sequens autem etas quemadmodum diximus ad īplendam denariam quātitateꝫ alias quatuor medietatesappoſuit. quas non adeo quis in veterum libris inueniat. Has igitur nos quam poſſumus breuiſſime diſponamus. Prima enim que eſt earuꝫ in ordine veroſeptima medietas hoc modo coniungitur: cum in tribus terminis quemadmodum eſt maximus terminꝰad vltimum: ſic maximi ⁊ paruiſſimi termini differētia ad minorum differentiam terminorum. vt in hacdiſpoſitione. 6. 8. 9. Nouenarius igitur ad ſenariumſeſqualter eſt. quorum eſt differentia ternarius. Minorum v̓o terminorum: ideſt octonarij ⁊ ſenarij binarius differentia eſt qui ad ſuperiorem ternariuꝫ comparatus facit ſeſqualteram proportionem. Secundavero inter quatuor: ſed octaua in ordine proportionalitas eſt: quotiens in tribus terminis quemadmoduꝫſunt extremitates ad ſe inuicem comparate: ſic eoruꝫdifferentia ad maiorum terminorum differentiam.vt ſunt. 6. 7. Nouem igitur ad. 6. ſeſqualter eſt. ⁊ eorum differentia ternarius eſt qui comparatuſ contramaiorum differentiam: ideſt ſeptenarij ⁊ nouēarij ꝙbinarius eſt: reddit ſeſqualteram proportionem. Tertia vero inter has ſequentes quatuor. nona autem inordine proportio eſt: quando tribus terminis poſitisquam proportionem medius terminꝰ ad paruiſſimūcuſtodit: eā retinet extremorum differentia ad mino
rum differentiam comparata. vt. 4. 6. 7. Eteniꝫ. 6.ad. 4. ſeſqualter eſt. quorum eſt differentia binarius.ſeptenarij vero ⁊ quaternarij ternarius differentia ēquem ſi ad ſuperiorem binarium comparemus ſeſqͣltera proportione coniungitur. Quarta vero que in ordine decima eſt conſideratur in tribus terminis: cuꝫtali proportione medius terminª ad paruiſſimum cōparatur: quali extremorum differentia contra maiorum terminorum differentiam proportione coniungitur. vt ſunt tres quinqꝫ octo. Quinarius enim mediꝰterminus ad ternarium ſuperbipartiēs eſt. Extremorum vero differentia octonarii ſcilicet ⁊ ternarii quinarius. qui comparatus contra maiorum terminorūdifferentiam ſcilicet quinarii ⁊ octonarii ꝗ eſt ternarius: ⁊ ip̄e quoqꝫ ſuperbi partiens inuenitur.¶ Diſpoſitio decem medietatuꝫ. Capitulū. liii.Iſponamus igitur cunctas medietates ind ordinē: vt cuiuſmodi omnes ſint facillimepoſſint intelligi.Arithmetica Prima 1 2 3GeometricaSecunda 1 2 4Armonica Tertia3 4 6contraria armonice Quarta 3 5 6contraria geome. Quinta 2 4 5contraria geome. Sexta 1 4 1 6inter. 4. prima Septima 6 8 9inter. 4. ſecunda Octaua 6 7 9inter. 4. tertia Nona4 6 7inter. 4. quarta Decima3 5 8¶ De maxima ⁊ perfecta ſymphonia que tribus diſtēditur interuallis. Capitulum. liiii.Eſtat ergo de maxima ꝑfectaqꝫ armoniadiſſerere. que tribus interualliſ conſtitutamagnam viꝫ obtinet in muſici modulaminis temperamentis: ⁊ in ſpeculcatione naI turalium queſtionum. Etenim perfectiushuiuſmodi medietate nihil poterit īueniri: que tribinteruallis producta perfectiſſimi corꝑis naturā ſubſtantiamqꝫ ſortita eſt Hoc enim mō cubū quoqꝫ trina dimēſione craſſatum: plenam armoniā eſſe monſtrauimus: Hec autem hmōi inuenietur: ſi duobusterminis cōſtitutis: qui ipſi tribꝰ creuerit interuallislongitudine: latitudīe: ⁊ profunditate: duo hmōi termini medii fuerīt conſtituti: ⁊ ipſi tribꝰ interuallisnotati. qui vel ab equalibus per eqͣles equaliter ſintproducti: vel ab inequalibus ad inequalia eqͣliter: velab inequalibus ad eqͣlia eqͣliter vel quolibet alio mōatqꝫ ita cū armonicam ꝓportionē cuſtodiant: alio tn̄modo cōparati faciant arithmeticā medietatē: hiſqꝫgeometrica medietas que inter vtraſqꝫ verſat̉ deeſſenon poſſit. In quatuor enim terminis ſi fuerit quēadmodū primꝰ ad tertiū. ſic ſecūdus ad quartuꝫ: proportionuꝫ ratione .ſ. cuſtodita: geometrica medietasexplicatur. Et qd̓ continet̉ ſub extremitatibꝰ equumerit ei qd̓ ſub vtraqꝫ medietate ad ſeinuiceꝫ multiplicata conficitur. Rurſus ſi maximus quatuor terminorū numerus ad eum ꝗ ſibi propinquus ē talē habeatdifferentiā qualeꝫ ideꝫ ipſe maximo proprinquus adparuiſſimū huiuſmodi proportio in arithmetica conſideratione proponitur. Et extremorū coniunctio duplex erit propria medietate. Si vero inter quatuor ꝙeſt tertius terminus equa parte quarti quartū terminuꝫ ſuperet: ⁊ equa primi a primo ſuꝑeret̉: armonicahuiuſmodi ꝓportio medietas ꝑſpicitur: Et quod con
tinetur